定积分的应用

定积分

定积分的元素法

如果所求量 $U$ 符合：与变量的变化区间 $[a,b]$ 有关，对于区间 $[a,b]$ 具有可加性，部分量 $\Delta U_i$ 的近似值可表示为 $f({\xi }_i)\Delta x_i$

1. 根据具体问题，选取积分变量 $x$，确定积分的变化区间 $[a,b]$
2. 将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，任取一小区间 $[x,x+dx]$, 求出该区间的部分量 $\Delta U$ 的近似值 $\mathrm{d}U=f(x)\mathrm{d}x$
3. 以所求量 $U$ 的元素 $\mathrm{d}U$ 为被积表达式，在区间 $[a,b]$ 上作定积分，得到：

U=\int _{a}^{b} f(x)\, dx \end{align}$$ ### 一、平面图形面积 #### 1. 直角坐标系 高为 $f (x)$，底为 $\; \mathrm{d}x$ 的矩形作为面积元素 $\; \mathrm{d}A=f(x)\; \mathrm{d}x$ $$\begin{align} A=\int _{a}^{b} f(x)\, dx \end{align}$$ #### 2. 极坐标系 半径为 $\rho(\theta)$，中心角为 $\; \mathrm{d}\theta$ 的扇形作为面积元素 $\; \mathrm{d}A=\dfrac{1}{2 }\left[\rho (\theta)\right]^{2}\, d\theta$ $$\begin{align} A=\int _{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{2 }\left[\rho(\theta)\right]^{2}\, d\theta \end{align}$$ ### 二、体积 #### 1. 旋转体的体积 连续曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体的体积 $$\begin{align} V=\int _{a}^{b} \pi \left[f(x)\right]^{2}\, dx \end{align}$$ #### 2. 平行截面面积已知的立体的体积 $$\begin{align} V=\int _{a}^{b} A(x)\, dx \end{align}$$ ### 三、平面曲线弧长 [[曲率\|弧微分]] 光滑曲线弧是可求长的，且弧长元素： $\; \mathrm{d}s=\sqrt{ ( \mathrm{d}x)^{2} +(\mathrm{d}y)^{2}}$ #### 1. 参数方程 $$\begin{cases} x=\varphi(t) \\ & (\alpha\leq t\leq \beta) \\ y=\psi(t) \end{cases}$$ $$\begin{align} s=\int _{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t) }\; \mathrm{d}t \end{align}$$ #### 2. 直角坐标方程 $$\begin{cases} x=x \\ & (a\leq x\leq b) \\ y=f(x) \end{cases}$$ $$\begin{align} s=\int _{a}^{b} \sqrt{ 1+y'^{2} }\; \mathrm{d} x \end{align}$$ #### 3. 极坐标方程 $$\begin{cases} x=\rho(\theta)\cos\theta \\ & (\alpha\leq \theta \leq \beta) \\ y=\rho(\theta)\sin \theta \end{cases}$$ $$\begin{align} s=\int _{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \rho^{2}(\theta)+\rho'^{2}(\theta) }\; \mathrm{d}\theta \end{align}$$