幂级数

Power Series 特殊的函数项级数

\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots+a_{n}(x-x_{0})^{n}+\cdots \end{align}$$ ### 一、幂级数的敛散性 #### Abel 定理及其推论 - 如果幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ 当 $x=x_{0}$ 时收敛，则满足不等式 $\left\lvert x \right\rvert<\left\lvert x_{0} \right\rvert$ 的一切 $x$ 使得此幂级数**绝对收敛**。 - 如果幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ 当 $x=x_{0}$ 时发散，则满足不等式 $\left\lvert x \right\rvert>\left\lvert x_{0} \right\rvert$ 的一切 $x$ 使得此幂级数**发散**。 如果幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$ 不是仅在 $x=0$ 一点收敛，也不是在整个数轴上都[[收敛\|收敛]]，那么必有一个确定的正数 $R$ （称为收敛半径）使得： - 当 $\left\lvert x \right\rvert<R$ 时，幂级数绝对收敛 - 当 $\left\lvert x \right\rvert >R$ 时，幂级数发散 - 当 $\left\lvert x \right\rvert=R$ 时，幂级数可能收敛也可能发散 ==收敛半径==：$R$ ==收敛区间==：$(-R,R)$ ==收敛域==：在收敛区间的基础上，确定 $\left\lvert x \right\rvert=R$ 的敛散性，来得到最终的收敛域 #### 收敛半径求法 根据[[常数项级数审敛法\|正项级数审敛法]]：求收敛半径也可使用多种审敛法 >求收敛半径的实质：抓住 **点态收敛**，转化为数项级数敛散性的判断 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} \right\rvert=\lambda \cdot |x| \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{|a_{n}x^{n}| }=\lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ |a_{n}| }\cdot |x|=\lambda\cdot|x| \\ \end{align}$$ 收敛半径 $R$： $$R=\begin{cases} & +\infty & \quad \lambda=0 \\ & \dfrac{1}{\lambda} & \quad \lambda \in(0,+\infty) \\ & \;0 & \quad \lambda=+\infty \end{cases}$$ - 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛 - 当 $|x|=R$ 时，需另行判断，代入端点转化为[[常数项级数审敛法\|常数项级数敛散性]]判断 - 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散 注意实际上级数的通项为 $u_{n}(x)$，收敛半径要注意 $x$ 的幂次 $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{u_{n}(x)}{u_{n-1}(x)} \right\rvert= \lim\limits_{ n \to \infty } \sqrt[n]{\left\lvert u_{n}(x) \right\rvert } \end{align}$$ 一定要明确收敛半径的本质：实际上是项数趋于无穷时相邻两项之比小于 1，求出对应的自变量取值范围，本质上是与等比级数相比较，将函数的敛散性传化为特定点时的数项级数敛散性判断 $$\begin{align} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(\dfrac{x+1}{2})^{2n}\quad \lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{a_{n}}{a_{n+1}} \right\rvert=\dfrac{1}{3}\quad \lim\limits_{ n \to \infty } \left\lvert \dfrac{a_{n+1}(\dfrac{x+1}{2})^{2n+2}}{a_{n}(\dfrac{x+1}{2})^{2n}} \right\rvert<1 \\ \left\lvert 3(\dfrac{x+1}{2})^{2} \right\rvert<1\quad -\dfrac{2}{\sqrt{ 3 }}<(x+1)< \dfrac{2}{\sqrt{ 3 }}\quad R=\dfrac{2}{\sqrt{ 3 }} \end{align}$$ ### 二、幂级数的性质及运算 #### 求幂级数的和函数 先求出收敛半径，确定收敛域，设出和函数 $S(x)$ 利用逐项求导，逐项求积分来转化为已知的特殊幂级数展开 #### 逐项求积、求导 幂级数在其收敛域上连续，在包含于收敛域中的任意闭区间上 - 可以逐项求积分： $$\begin{align} \int _{0}^{x} S(x)\, dx =\int _{0}^{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}\, dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \int _{0}^{x} a_{n}x^{n}\, dx =\sum\limits_{n=1}^{\infty} &a_{n} \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \end{align}$$ - 可以逐项求导： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} a_{n}x^{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} na_{n}x^{n-1} \end{align}$$ 并且逐项积分、逐项求导所得的幂级数的收敛半径也是 $R$ $$\begin{align} S(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{n}= \lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{(1-x^{n})}{1-x}=\dfrac{1}{1-x}\quad (-1<x<1) \end{align}$$ $$\begin{align} S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^{n}= \lim\limits_{ n \to \infty } \dfrac{x(1-x^{n})}{1-x}=\dfrac{x}{1-x}\quad (-1<x<1) \end{align}$$ 不要局限于 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n}$ 还应关注其他常见幂级数：[[泰勒级数\|泰勒级数]] 一定要注意函数的收敛域，求和函数首先要求出函数的收敛域。 $$\begin{align} & S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n+2}{n!} x^{2n+1} \; {\color{red}\Rightarrow} \; \int _{0}^{x} S(x)\, dx =x^{2} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^{2n}}{n!}=x^{2}(e^{ x^{2} }-1) \\ & S(x)=2x(e^{ x^{2} }-1)+2x^{3}e^{ x^{2} } \end{align}$$ $$\begin{align} & S(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n} \\ & \; {\color{red}\Rightarrow} \;\dfrac{S(x)}{x}= \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n-1}\quad \Rightarrow \quad \int _{0}^{x} \dfrac{S(x)}{x}\, dx = \int _{0}^{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{2}x^{n-1} \, dx =\sum\limits_{n=1}^{\infty} n x^{n} \\ & \; {\color{red}\Rightarrow} \; \int _{0}^{x} \dfrac{\int _{0}^{x} \dfrac{S(x)}{x}\, dx}{x}\, dx = \int _{0}^{x}\sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} \, dx =\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^{n}=\dfrac{x}{1-x} \quad \Rightarrow \quad\dfrac{\int _{0}^{x} \dfrac{S(x)}{x}\, dx}{x}=\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{x}{1-x} \\ & S(x)=x\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (x\cdot \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dfrac{x}{1-x})=\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^{3}} \end{align}$$