Taylor Series 实质是泰勒公式的项数趋于无穷，对函数的精确表达。利用函数的局部信息，在函数的某一点附近（特定区间）将函数展开为幂级数。
一、基本概念
如果 在点 具有任意阶导数，则下式称为称为在点 处的泰勒级数：
\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\dfrac{f''(x_{0})(x-x_{0})}{2!}+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})+\dots \end{align}$$ 通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数: $$\begin{align} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)x}{2!}+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x+\dots \end{align}$$ #### 常见的麦克劳林级数展开 $$\begin{align} e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dotsb\quad -\infty<x<+\infty \end{align}$$ $$\begin{align} sin(x) & =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5-\dfrac{1}{7!}x^7+\dotsb \quad -\infty<x<+\infty \\ \cos(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4-\dfrac{1}{6!}x^6+\dotsb \quad -\infty<x<+\infty \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{n} \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n} \;\Rightarrow \;\dfrac{1}{1+x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{2n}\quad -1<x\leq 1 \end{align}$$ $$\begin{align} \ln(1+x)= \int \dfrac{1}{1+x}\, dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad -1<x\leq 1 \end{align}$$ $$\begin{align} \arctan(x)= \int \dfrac{1}{1+x^{2}}\, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \quad -1\leq x\leq 1 \end{align}$$ [[二项式定理\|二项式展开]]： $$\begin{align} (1+x)^{k}= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n=1+kx+ \dfrac{k (k-1)}{2!} x^{2}+\cdots + \dfrac{k (k-1)\cdots (k-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots\quad (-1<x <1) \end{align}$$ ### 二、泰勒级数的扩展 #### 1. 在复数上的扩展 主要见：[[泰勒级数（复数意义）\|泰勒级数（复数意义）]] $$\begin{align} f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(z_{0})}{n!} (z-z_{0})^{n} \end{align}$$ #### 2. 在维度上的扩展 二元泰勒级数展开： $$\begin{align} y=f(x_{1},x_{2})=f(x_{10},x_{20})+\left[\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\right)_{x_{10},x_{20}}(x_{1}-x_{10}) +\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\right)_{x_{10},x_{20}}(x_{2}-x_{20}) \right]+\cdots \end{align}$$ 多元泰勒级数展开： $$\begin{align} H(\mathbf{X})= \dfrac{\partial^{2}{f} }{\partial x \partial y } \end{align}$$ ### 三、实际应用 非线性系统的[[线性化\|线性化]] 微分方程幂级数解法：[[矩阵指数函数\|矩阵指数函数]]