行列式

Determinants

基本定义

二阶行列式：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{align}$$ **三阶行列式**： $$\begin{align} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} & ={a}_{11}{a}_{22}{a}_ {33}+ {a}_{21}{a}_{32}{a}_ {13}+{a}_{12}{a}_{23}{a}_ {31} \\ & -{a}_{13}{a}_{22}{a}_ {31}-{a}_{12}{a}_{23}{a}_ {31}-{a}_{21}{a}_{32}{a}_ {13} \end{align}$$ **n 阶行列式**： $$\begin{align} D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12 } & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22 } & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align}$$ 几何意义：将矩阵映射为一个标量，矩阵的每列（或每行）代表一个边/平面，行列式表示多维空间各平面围成的体积。（代表了由矩阵 **A 的列向量（或行向量）** 在 **n 维空间** 中所张成的 **平行多面体** 的 **有向体积**。） ### 行列式的计算 #### 1. Big Formula $$\begin{align} \det A=\sum (\det P)a_{1\alpha}a_{2\beta} \cdots a_{n\omega } \end{align}$$ #### 2. Cofactor Formula 行列式等于任一行/列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 $$\begin{align} \det A={a}_{{i}1}{C}_{i1}+{a}_{{i}2}{C}_{i2}+\cdots+{a}_{{i}n}{C}_{in} \quad \text{按行展开}\\ \det A={a}_{1{i}}{C}_{1{i}}+{a}_{2{i}}{C}_{2{i}}+\cdots+{a}_{n{i}}{C}_{n{i}}\quad \text{按列展开} \end{align}$$ - **余子式** $M_{ij}$ ：为去掉行 $i$ 和列 $j$ 的子矩阵 - **代数余子式** $C_{ij}$ ： $C_{ij}=( -1)^{i+j}\det M_{ij}$ 为余子式的行列式（加上由于排列产生的正负号） 伴随矩阵 $A^{*}$ 是矩阵 $A$ 的**代数余子式**的转置排列 $$\begin{align} A^{*}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21 } & \cdots & C_{n 1} \\ C_{12} & C_{22 } & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix} \end{align}$$ $A=(a_{ij}),A A^{*}=(b_{ij})$ $$b_{ij}=a_{i1}C_{j 1}+a_{i 2}C_{j 2}+\cdots +a_{i n}C_{j n}=\begin{cases} & \left\lvert A \right\rvert \quad i=j\\ \\ & \;\;0 \;\quad i\neq j \end{cases}$$ ### 行列式的性质 行列式与转置行列式相等： $$\begin{align} D=D^{T} \end{align}$$ 对换行列式的两行/列，行列式变号 - 交换两行：$r_{i} \leftrightarrow r_{j}$ $D_{1}=-D$ - 交换两列：$c_{i} \leftrightarrow c_{j}$ $D_{1}=-D$ 如果有两行/列相等，则行列式为 0，$D=-D\to D=0$ 行列式的某一行/列的所有元素都乘以同一个数 $k$，相当于用 $k$ 乘以行列式 --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Determinants** ### 定义 行列式是赋给方阵的一个标量，记为 $\det A$ 或 $|A|$。它不是普通的矩阵括号，而是把矩阵的行向量或列向量压缩成一个数：这个数同时记录有向体积伸缩、行向量是否退化、以及矩阵是否可逆。 对二阶矩阵

A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},

$$行列式为$$

\det A=\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=ad-bc.

一般 $n$ 阶方阵的行列式可以由三条定义性规则唯一确定：$\det I=1$，交换两行变号，并且在其他行固定时对任意一行分别线性。由这三条规则可推出[[行列式基本性质\|行列式基本性质]]中的全部常用运算规则。 ### 可逆性含义 行列式首先是可逆性的判别数：

A\text{ 可逆}\quad\Longleftrightarrow\quad \det A\ne0.

若 $\det A=0$，矩阵没有逆；若 $A$ 可逆，则

\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}.

$$二阶逆矩阵公式把这种含义表现得最直接：$$

\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}.

这里必须除以 $ad-bc$。当 $ad-bc=0$ 时，公式要求除以 $0$，对应矩阵不可逆；几何上，二阶情形中两行平行或线性相关会使面积退化为 $0$。 ### 计算路径 行列式有三条互补的计算路径。 - 主元公式：把 $A$ 消元到上三角矩阵 $U$，若发生 $k$ 次换行且未把主元行归一化，则

\det A=(-1)^k\prod_{i=1}^n u_{ii}.

这就是 $\det A=\pm$ 主元乘积，也是[[行列式与消元\|行列式与消元]]的核心。 - 排列公式：把每一行、每一列各取一个元素的所有组合加总，符号由排列奇偶性决定：

\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}.

- 余子式展开：沿某一行或某一列把 $n$ 阶行列式化为若干个 $n-1$ 阶行列式：

\det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij} \quad\text{或}\quad \det A=\sum_{i=1}^n a_{ij}C_{ij},

其中 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}$。这条路径解释了伴随矩阵和逆矩阵公式，但在高阶数值计算中通常不如消元有效。 ### 核心性质 行列式的常用性质可以组织为一条从定义到应用的链条： - $\det I=1$。 - 交换两行使行列式变号；交换两列也变号。 - 在其他行固定时，行列式对每一行分别线性；列也同理。 - 两行相同或两列相同，则行列式为 $0$。 - 一行的倍数加到另一行不改变行列式。 - 有零行或零列，则行列式为 $0$。 - 三角矩阵的行列式等于主对角线乘积，见[[三角矩阵行列式\|三角矩阵行列式]]。 - 奇异矩阵行列式为 $0$，可逆矩阵行列式非零。 - 乘法公式成立：

|AB|=|A||B|.

$$-转置不改变行列式：$$

|A^{\mathrm T}|=|A|.

这些性质说明行列式既是代数对象，也是线性变换体积伸缩率的编码。 ### 典型例子 二阶矩阵的主元直接给出行列式。若 $a\ne0$，消元主元为

a,\qquad d-\frac{c}{a}b,

$$因此$$

a\left(d-\frac{c}{a}b\right)=ad-bc=\det A.

$$如果先交换两行，矩阵变为$$

\begin{pmatrix}c&d\a&b\end{pmatrix},

$$对应主元乘积为$$

c\left(b-\frac{a}{c}d\right)=bc-ad=-(ad-bc).

$$换行只改变符号，不改变“主元乘积给出行列式”的原则。另一个三阶例子是$$

B(a)= \begin{pmatrix} 1-a&1&1\ 1&1-a&1\ 1&1&1-a \end{pmatrix}.

$$用行、列倍加把它化为下三角形后得到$$

\det B(a)=a

所以 $a=0$ 或 $a=3$ 时矩阵奇异。$a=0$ 时它是全 $1$ 矩阵，行向量明显相关；$a=3$ 时每一行元素和为 $0$，也给出非零零空间向量。 ### 边界与误区 行列式只定义在方阵上。它对“某一行单独变化且其他行固定”是线性的，但不是对整个矩阵加法线性。因此一般没有

\det(A+B)=\det A+\det B.

同样，数乘整个 $n$ 阶矩阵时，每一行都被乘以同一个数：

\det(tA)=t^n\det A,\qquad \det(tI_n)=t

不能把 $\det(2I_n)$ 误写成 $2\det I_n$。在实际计算中，行列式公式能给出逆矩阵、Cramer 法则和特征方程，但大规模数值求解通常先消元，而不是直接展开。 ### 理论位置 行列式位于线性代数中几个主题的交点：它用 $\det A\ne0$ 判别[[可逆矩阵\|可逆矩阵]]，用 $|\det A|$ 描述有向体积的大小，用 $\det(A-\lambda I)=0$ 引出[[特征值和特征向量\|特征值]]，并通过[[行列式乘法公式\|行列式乘法公式]]把线性变换的复合转化为标量乘法。