Inverse Matrix
对于 阶矩阵 , 如果存在 阶矩阵 :
AB=BA=E \end{align}$$ 则称矩阵 $A$ 可逆，并将矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$ ### 运算性质 矩阵 $A$ 可逆 $\leftrightarrow$ $\left\lvert A \right\rvert\neq 0$ $\leftrightarrow$ $A$ 为非奇异矩阵 $\leftrightarrow$ $A$ 满秩\begin{gathered} A A^{-1}=E \quad \quad \left\lvert A \right\rvert \left\lvert A^{-1} \right\rvert=1 \end{gathered}
对于一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$,其逆矩阵 $A^{-1}$ 满足以下性质： $( A^{- 1}) ^{- 1}= A$ $(\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}$ $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，其中 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵。 $( A^T) ^{- 1}= ( A^{- 1}) { #T} $ ### 计算矩阵的逆 #### 1. 伴随矩阵计算 $$\begin{align} A^{-1}= \dfrac{1}{\left\lvert A \right\rvert} A^{*} \end{align}$$ $$\begin{align} AA^{*}=A^{*}A=\left\lvert A \right\rvert E \;\Rightarrow \;\dfrac{1}{\left\lvert A \right\rvert }A^{*}A=E \;\Rightarrow \;A^{-1}= \dfrac{1}{\left\lvert A \right\rvert }A^{*} \end{align}$$ 伴随矩阵 $A^{*}$ 为矩阵 $A$ 的各个元素对应的[[行列式#Cofactor Formula\| 代数余子式]]的**转置排列** - **余子式** $M_{ij}$ ：为去掉行 $i$ 和列 $j$ 的子矩阵 - **代数余子式** $C_{ij}$ ： $C_{ij}=( -1)^{i+j} \left\lvert M_{ij} \right\rvert$ 为余子式的行列式（加上由于排列产生的正负号） $$\begin{align} A^{*}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{21 } & \cdots & C_{n 1} \\ C_{12} & C_{22 } & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 2. 初等变换 $$\begin{align} (A\;\mid \;I) \leftrightarrow (I\;\mid \; A^{-1} ) \end{align}$$ #### 3. 分块矩阵求逆 分块矩阵求逆涉及到将一个大矩阵分解成若干个小矩阵（块），然后对这些块进行操作以求得原矩阵的逆。假设有一个分块矩阵 $A$，它可以被分为四个块： $$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{21} \end{pmatrix} $$ 其中 $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{21}$, 和 $A_{22}$ 都是子矩阵。为了求 $A$ 的逆，需要满足：$A_{11}$ 和 $A_{22}$ 都需要是可逆的。如果 $A_{11}$ 或 $A_{22}$ 不可逆，那么可能需要使用其他方法来求逆，或者矩阵可能根本没有逆。 $$ A^{-1} = \begin{pmatrix} (A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}(A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1} \\ -A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & (A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})^{-1} \end{pmatrix} $$ 这个公式是基于 Schur 补的概念，其中 $A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}$ 和 $A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ 是 Schur 补。 ### 实际应用 逆矩阵在许多数学和工程问题中具有重要作用，用于求解线性方程组、计算矩阵方程、分析线性变换、进行数据变换和优化等。逆矩阵的计算和应用是线性代数的重要部分，也是许多科学和工程计算的基础。 $AXB=C$ $X=A^{-1}CB^{-1}$ #### 编程语言实现 ```python import numpy as np np.linalg.inv(A) ``` --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Inverse Matrix** ### 定义 对方阵 $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$，若存在同阶方阵 $B$ 使AB=BA=I,
则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记为B=A
逆矩阵是撤销线性变换 $x\mapsto Ax$ 的矩阵：先作用 $A$ 再作用 $A^{-1}$，或先作用 $A^{-1}$ 再作用 $A$，都回到原向量。 ### 唯一性 若 $B$ 是左逆，$C$ 是右逆，即BA=I,\qquad AC=I,
B=B(AC)=(BA)C=C.
因此同一个方阵一旦同时存在左逆和右逆，它们必定相同，逆矩阵也唯一。 ### 等价条件 对 $n\times n$ 矩阵 $A$，以下条件等价： - $A$ 有逆矩阵。 - $\det A\ne0$。 - $A$ 是[[可逆矩阵\|可逆矩阵]]，不是[[奇异矩阵\|奇异矩阵]]。 - $A$ 的列向量线性独立并张成整个 $\mathbb{F}^n$。 - 对任意右端 $b$，[[线性方程组\|线性方程组]] $Ax=b$ 都有唯一解。 - 齐次方程 $Ax=0$ 只有零解。 若 $A$ 可逆，则Ax=b \quad\Longrightarrow\quad x=A
### 基本性质 若相关逆矩阵都存在，则(A^{-1})^{-1}=A, \qquad (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^T)^{-1}=(A^{-1})
(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A
(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A
### 余子式公式 令 $C=(C_{ij})$ 为 $A$ 的代数余子式矩阵。若 $\det A\ne0$，则A^{-1}=\frac{C^T}{\det A}.
(A^{-1}){ij}=\frac{C{ji}}{\det A}.
AC^T=(\det A)I.
注意必须转置：$C_{ij}$ 先排成余子式矩阵，再取 $C^T$ 才能成为逆矩阵的分子。 ### 列方程视角 把逆矩阵按列写成A^{-1}=[x_1\ x_2\ \cdots\ x_n], \qquad I=[e_1\ e_2\ \cdots\ e_n].
AA
Ax_1=e_1,\quad Ax_2=e_2,\quad \cdots,\quad Ax_n=e_n.
因此逆矩阵的第 $j$ 列就是方程 $Ax=e_j$ 的解。对这些列方程使用[[克拉默法则\|克拉默法则]]，分子行列式会变成 $A$ 的代数余子式，于是得到[[逆矩阵的余子式公式\|逆矩阵的余子式公式]]。 ### 例子 对二阶矩阵A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
\det A=ad-bc\ne0,
A^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d&-b\ -c&a \end{pmatrix}.
A=\begin{pmatrix}3&4\5&6\end{pmatrix}, \qquad \det A=-2,
A^{-1} =-\frac12 \begin{pmatrix}6&-4\-5&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} -3&2\ \frac52&-\frac32 \end{pmatrix}.
乘以 $b=(2,4)^T$ 得A^{-1}b
\begin{pmatrix}2\-1\end{pmatrix},
这与克拉默法则求出的解一致。 ### 计算方式 常见求逆方式有两类： - 伴随矩阵法：使用 $A^{-1}=C^T/\det A$。它适合低阶矩阵、符号推导和理论证明。 - [[高斯-若尔当消元法\|高斯-若尔当消元法]]：把增广矩阵 $[A\mid I]$ 化为 $[I\mid A^{-1}]$。它是实际计算逆矩阵的标准消元方式。 若只是求单个方程组 $Ax=b$，通常不应显式形成整个 $A^{-1}$；直接对 $Ax=b$ 消元或使用分解方法更高效。 ### 使用边界 逆矩阵只对方阵的可逆情形存在。若 $\det A=0$，则 $A$ 是奇异矩阵，$Ax=b$ 可能无解，也可能有无穷多解，此时不能写 $x=A^{-1}b$。 从余子式公式看，$\det A$ 是所有逆矩阵元素的共同分母。当 $\det A$ 非零但很小，逆矩阵元素可能非常大，方程组对扰动会很敏感。这个现象说明显式求逆并不总是数值上稳健。 ### 理论位置 逆矩阵把“唯一可解的线性方程组”和“可撤销的线性变换”统一起来。[[克拉默法则\|克拉默法则]]说明 $A^{-1}b$ 的各个分量可以用列替换行列式表示；[[伴随矩阵\|伴随矩阵]]和[[逆矩阵的余子式公式\|逆矩阵的余子式公式]]进一步把整个 $A^{-1}$ 写成余子式矩阵转置除以 $\det A$。