随机变量函数的分布

Distribution of Functions of Random Variables

当随机变量 $X$ 取值为 $x$ 时，随机变量 $Y$ 的取值为 $y=g(x)$，则称 $Y$ 是随机变量 $X$ 的函数，记为 $Y=g(X)$ （ $g(x)$ 是定义在随机变量 $X$ 的一切可能取值 $x$ 集合上的函数 ）

graph LR
1["随机变量
函数的分布"]-->2[离散型]
1--> 3[连续型]
3--> 5[一般情形] & 4[特殊分布]
4--> 正态分布 & 对数正态分布 & 均匀分布
5--> 分布函数法

一、离散随机变量函数的分布

$X$ 有概率分布律，则 $Y$ 的分布律可以表示为：

当 $g(x_i)$ 中有某些值相等，将相等的值合并，概率相加即可

注意

不要想的过于复杂，离散化的很简单，也很好处理 根据函数关系 $Y=g(X)$ 找到对应的函数值以及对应的概率，列表即可

例题

$X$ 1 2 3 $\cdots$ n $\cdots$
$p_k$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2^2}$ $\frac{1}{2^3}$ $\cdots$ $\frac{1}{2^n}$ $\cdots$

$Y=\sin (\frac{\pi }{2}X)$ 的分布律？

-1 & n=4k-1 \\ 0 & n=2k \\ 1 & n=4k-3 \end{cases}$$ 所以 $Y$ 只可能取 $-1,0,1$ $P\left\{Y=-1 \right\}= \dfrac{1}{2^{3}}+\dfrac{1}{2^{7}}+\cdots+ \dfrac{1}{2^{4k-1}}+\cdots= \dfrac{\frac{1}{2^{3}}}{1- \frac{1}{2^{4}}}=\dfrac{2}{15}$ 等比级数求和 同理 $P\left\{Y=0 \right\}= \dfrac{1}{3}$ $P\left\{Y=1 \right\}= \dfrac{8}{15}$ ## 二、连续随机变量函数的分布 ### 1. 分布函数法 **先找 Y 的[[分布函数\|分布函数]]，再求导得出 Y 的[[概率密度函数\|概率密度函数]]** （完全按照定义得到，很好思考） $$\begin{align} Y&=g(X) \\ X&=g^{-1}(Y)=h(Y) \end{align}$$ $$\begin{align} F_{Y}(y)&=P\left\{Y\leq y \right\} \\ &=P\left\{g(X)\leq y \right\} \\ &=P\left\{X\leq h(y) \right\}\\ &=\int \limits _{x\leq h(y)}f_{X}(x)\, dx \\ f_{Y}(y)&=F'_{Y}(y) \end{align}$$ >[!important] 本质 > > 就是根据分布函数和概率密度函数的定义，一步步代换，求得函数的密度函数 #### 1.1 当 $g(x)$ 严格单调时 如果 $g(x)$ 单调递增： $$\begin{align} F_{Y}(y)&=P\left\{Y\leq y \right\} \\ &=P\left\{g(X)\leq y \right\} \\ &=P\left\{X\leq g^{-1}(y) \right\} \\ &=\int _{-\infty}^{h(y)} f_{X}(x)\, dx \\ f_{Y}(y)&=F'_{Y}(y)=f_{X}(h(y))h'(y) \end{align}$$ 如果 $g(x)$ 单调递减： $$\begin{align} F_{Y}(y)&=P\left\{Y\leq y \right\} \\ &=P\left\{g(X)\leq y \right\} \\ &=P\left\{X\geq g^{-1}(y) \right\} \\ &=\int _{h(y)}^{+\infty} f_{X}(x)\, dx \\ f_{Y}(y)&=F'_{Y}(y)=-f_{X}(h(y))h'(y) \end{align}$$ 综上： $$f_{Y}(y)=\begin{cases} f_{X}[h(y)]\cdot|h'(y)|\quad \\ \\ \quad \quad 0 \end{cases}$$ #### 1.2 当 $g(x)$ 为其他形式时 也是使用分布函数法求分布函数和概率密度函数（注意要对 y 进行分类讨论） ### 2. 特殊分布的函数的分布 #### 2.1 正态分布 $X \sim N(\mu,\sigma^{2})$ $Y=aX+b \sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})$ [[正态分布\|正态分布]]的[[线性变换\|线性变换]]仍为正态分布 $E(Y)=a\mu+b$ $D(Y)= a^{2}\sigma^{2}$ #### 2.2 对数正态分布 属于长尾分布 $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $Y=e^{ X }\sim LN(\mu,\sigma^{2})$ $$f_{Y}(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi }y\sigma}\exp\left[-\dfrac{(\ln y-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right] \quad y>0\\ \\ \quad \quad 0\quad \quad \quad y\leq 0 \end{cases}$$ $$\begin{align} y&=e^{ x } \quad x=h(y)=\ln y \quad (\ln y)'= \dfrac{1}{y}\\ F_{Y}(y)&=F_{X}(h(y)) h'(y) \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi }\sigma} \exp\left[-\dfrac{(\ln y-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right] \cdot \dfrac{1}{y} \end{align}$$ #### 2.3 均匀分布 若 $X$ 的分布函数 $F_{X}(x)$ 为严格单调增的连续函数，其反函数 $F_{X}^{-1}(x)$ 存在，则 $Y=F_{X}(X)$ 服从 $(0,1)$ 上的[[均匀分布\|均匀分布]] $$\begin{align} Y&=F_{X}(X) \\ F_{Y}(y)&=P\left\{F_{X}(X)\leq y \right\} \\ &=P\left\{X\leq F_{X}'(y) \right\} \\ &=F_{X}(F_{X}'(y)) \\ &=y \\ Y&=F_{X}(X)\sim U(0,1) \end{align}$$ >[!important] 意义 > >可以通过均匀分布的随机数产生其他分布的随机数 >例如产生[[指数分布\|指数分布]]的随机数： > $Y=F_{X}(X)=1- e^{ -\lambda X }\sim U(0,1)$ > 反解：$X=- \dfrac{\ln(1-Y)}{\lambda}$ $X\sim Exp(\lambda)$