只考虑稳态数学模型
假定条件
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忽略空间和时间谐波
- 空间谐波是由电机的物理结构引起的，转轴不在圆心上，无效投影
- 时间谐波是由电源的非正弦波形引起的
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忽略磁饱和 磁饱和：达到一定磁通密度后，磁通密度不再随磁场强度增加而增加的现象 在磁饱和状态下，电机的磁路特性会发生变化，影响电机的性能
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忽略铁损 交变涡旋电流对铁芯产生损耗，铁损会转化为热能，影响电机的效率
气隙感应电动势
E_{g}=U_{s}-I_{s}(R_{s}+j\omega L_{ls}) \end{align}$$ $$\begin{align} E_{g}&=N \dfrac{\mathrm{d} \Phi_{m}\cos \omega _{1}t}{\mathrm{d} t} \\ &=-N\Phi_{m} \omega _{1}\sin \omega _{1}t \\ &=-2\pi f_{1}\cdot N\Phi_{m}\sin \omega _{1}t \end{align}$$ 电感通交流电，产生磁链 某一相的相电压 $U_{s}=\dfrac{1}{\sqrt{ 2 }}U$ $\omega=2\pi \times50\,rad/ s$ ### 稳态等效电路  - $R_{s}$ 定子每相电阻 - $\dfrac{R_{r}'}{s}$ 转子电阻在转差率为 $s$ 时的等效电阻 $R_{r}'$ 折合到定子侧的转子每相电阻 它反映了在特定转差率下，转子电阻对电机性能的影响 - $L_{ls}$ 定子每相的漏磁电感 - $L_{lr}'$ 折合到定子侧的转子的漏磁电感 - $L_{m}$ 定子每相绕组产生气隙主磁通的等效电感，即励磁电感 - $U_{s}$ 定子相电压 - $\omega_{1}$ 供电角频率 **重要的近似**：$L_{m}$ 的数量级远远大于 $L_{ls},L'_{rs}$ 励磁电感远远大于其他两个漏感 $I_{0}$ 很小 $I_{s} \approx I'_{r}$ 阻抗法求得转子流过的电流： $$\begin{align} I_{s}\approx I_{r}'= \dfrac{U_{s}}{\sqrt{ (R_{s}+\dfrac{R_{r}'}{s})^{2} +\omega _{1}^{2}(L_{ls}+L_{lr}')^{2}}} \end{align}$$ - 输出的电磁转矩： $T_{e}= \dfrac{P_{m}}{\omega_{m}}$ - 电磁功率：$P_{m}=3I_{r}^{2}\dfrac{R_{r}'}{s}$ - 供电角频率： $\omega_{1}$ 磁极对数 ： $n_{p}$ - 同步机械角速度： $\omega_{m}=\dfrac{\omega_{1}}{n_{p}}$ [[异步电机\|异步电机]] $$\begin{align} T_{e}&= \dfrac{P_{m}}{\omega_{m}}= \dfrac{3I_{r}' ^{2}\dfrac{R_{r}'}{s}}{\dfrac{\omega_{1}}{n_{p}}} \\ &=\dfrac{3n_{p}U_{s}^{2}R_{r}' / s}{\omega _{1}\left[(R_{s}+\dfrac{R_{r}'}{s})^{2}+\omega _{1}^{2}(L_{ls}+L_{lr}')^{2}\right]} \\ &=\dfrac{3n_{p}U_{s}^{2}R_{r}' s}{\omega _{1}\left[(sR_{s}+{R_{r}'})^{2}+\omega _{1}^{2}(L_{ls}+L_{lr}')^{2}s^{2}\right]} \end{align}$$ ### 恒转矩负载 当转速或转差率一定时，**电磁转矩与定子电压的平方成正比** 最大转矩时的静差率和最大转矩： $\dfrac{\mathrm{d} T_{e}}{\mathrm{d} s} =0$ (一阶导为 0，二阶导大于 0) $$\begin{align} s_{m}&=\dfrac{R_{r}'}{\sqrt{ R_{s}^{2}+\omega_{1}^{2}(L_{ls}+L_{lr}')^{2}}} \\ T_{emax}&= \dfrac{3n_{p}U_{s}^{2}}{2\omega _{1}\left[R_{s}+\sqrt{ R_{s}^{2}+\omega_{1}^{2}(L_{ls}+L_{lr}')^{2}}\right]} \end{align}$$ - $s\to0\quad T_{e} \propto s$ 线性段 - $s\to 1\quad T_{e} \propto \dfrac{1}{s}$ 双曲线段 电机转子有较高的电阻值时：虽然带载能力减弱，机械特性变软，但是调速范围变大，也不会出现电机过热的现象  ### 风机类负载 电机的转矩转换为静压能，[[伯努利方程(流体)\|伯努利方程(流体)]] 流体流速即电机转速 $n$，流体流速的压差变化即电磁转矩 $T_{e}-T_{L_{0}}$ $$\begin{align} n=k\sqrt{ T_{e}-T_{L_{0}} } \; {\color{red}\Rightarrow} \; T_{e}=(\dfrac{n}{k})^{2}+T_{L_{0}} \end{align}$$ 起始克服空载转矩 $n=0,T_{e}=T_{L_{0}}$, 风机类负载特性曲线，饱和特性，与流体力学方程相对应