直流电机反馈控制的动态建模

一、动态建模的步骤

1. 根据系统中各环节的物理规律， 列出描述该环节动态过程的微分方程；
2. 求出各环节的传递函数；
3. 组成系统的动态结构图并求出系统的传递函数

转速负反馈的原理图：

闭环调速系统的稳态结构框图：

关键就是

1. 对各个环节进行动态建模列写传递函数
2. 知道了各环节的传递函数后，把它们按在系统中的相互关系组合起来，就可以画出闭环直流调速系统的动态结构图
3. 将静态的系统结构图画为动态结构图

二、常见元器件的建模

电力电子变换器的动态建模

不同电力电子变换器的传递函数，表达式基本一致，都为纯滞后环节。（见： V-M系统晶闸管整流）

W_{s}(s)= \dfrac{U_{d_{0}}(s)}{U_{c}(s)} =K_{s}e^{ -T_{s}s } \approx \dfrac{K_{s}}{T_{s}s+1} \end{align}$$ #### 控制与检测环节的动态建模 **比例放大器和测速反馈环节**：它们的响应都可以认为是瞬时的，因此它们的传递函数就是它们的放大系数 $$\begin{align} K_{p}= \dfrac{U_{c}(s)}{\Delta U_{n}(s)} \quad \alpha = \dfrac{U_{n}(s)}{n(s)} \end{align}$$ ### 三、电机的动态建模 由[[直流电机的开环调速\|调压调速]]知道：输入是调压调速的电压 $U_{d_{0}}$，输出是电机的实际转速 $n$ 对电机的建模的四个方程：电机的三个方程+电动势方程 直流电机等效电路：  #### 3.1 列写方程 1. **电路方程**： $$\begin{align} U_{d 0}&=RI_{d}+L \dfrac{\mathrm{d} I_{d}}{\mathrm{d} t}+E \end{align}$$ 2. **反电动势方程**：反电动势是电机在旋转时切割磁力线产生的电压，在直流电机中，反电动势与电机的转速成正比： $$\begin{align} E=C_{e} n \\ \end{align}$$ - $E$ 电机产生的反电动势 - $C_{e}$ 电机的反电动势常数 3. **电磁转矩方程：** $$\begin{align} T_{e}= C_{m} I_{d} \quad\quad T_{L}=C_{m}I_{dL} \end{align}$$ - $T_{e}$ 电机产生的实际的电磁转矩 - $T_{L}$ 电机需要克服的外部负载的转矩 - $C_{m}= \dfrac{30}{\pi}C_{e}$ 电机额定励磁下的转矩系数 - $I_{d}$ 流过电机电枢(定子)的电流 - $I_{dL}$ 负载电流（Load Current） 即为了克服负载所需的电枢电流 4. **动力学方程：** $$\begin{align} T_{e}-T_{L}=\dfrac{GD^{2}}{375} \dfrac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t} \end{align}$$ $GD^{2}$ 电力拖动系统折算到电机轴上的飞轮惯量 #### 3.2 写传递函数 $$\begin{align} & U_{d 0}-E=RI_{d}+L \dfrac{\mathrm{d} I_{d}}{\mathrm{d} t} =R(I_{d}+ \dfrac{L}{R} \dfrac{\mathrm{d} I_{d}}{\mathrm{d} t} ) =R(I_{d}+ T_{l} \dfrac{\mathrm{d} I_{d}}{\mathrm{d} t}) \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \; & U_{d 0}(s)-E(s)= R I_{d}(s)(1+T_{l} s) \end{align}$$ - 电磁时间常数 $T_{l}=\dfrac{L}{R}$ *** $$\begin{align} & T_{e}-T_{L}=C_{m}(I_{d}-I_{dL}) =\dfrac{GD^{2}}{375} \dfrac{\mathrm{d} n}{\mathrm{d} t} \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \;& I_{d}-I_{dL}=\dfrac{GD^{2}}{375C_{m}} \dfrac{1}{C_{e}}\dfrac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} =\dfrac{T_{m}}{R} \dfrac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} t} \\ \; {\color{red}\Rightarrow} \;& I_{d}(s)-I_{dL}(s)= \dfrac{T_{m}}{R}sE(s) \end{align}$$ - 机电时间常数 $T_{m}= \dfrac{GD^{2}R}{375C_{e}C_{m}}$ #### 3.3 结构框图 $$\begin{align} \dfrac{I_{d}(s)}{U_{d 0}(s)-E(s)}&= \dfrac{\dfrac{1}{R}}{T_{l}(s)+1}\\ \dfrac{E(s)}{I_{d}(s)-I_{dL}(s)}&= \dfrac{R}{T_{m}s} \end{align}$$ 由上面两个式子得到：  最终得到整个直流电机的动态结构图：  经过框图变换得到：  功率器件的时间常数 $T_{s}$ < 电磁时间常数 $T_{L}$ < 机电时间常数 $T_{m}$ $$T_{s}<T_{L}<T_{m}$$ ### 动态结构框图 将上面得到的各个部分的传递函数组合到一起，得到最终整个直流调速系统的动态[[系统结构框图\|结构框图]]  动态框图：负载（转矩电流）为干扰; 稳态框图：电枢电流为干扰 ### 传递函数 由动态结构框图得到[[传递函数\|传递函数]]： 开环传递函数： $$\begin{align} G(s)= \alpha K_{p} \dfrac{K_{s}}{T_{s}s+1} \dfrac{1 / {C_{e}}}{T_{m}T_{l}s^{2}+ T_{m}s+1} \end{align}$$ 闭环传递函数： $$\begin{align} \Phi(s)&= \dfrac{ K_{p} \dfrac{K_{s}}{T_{s}s+1} \dfrac{1 / {C_{e}}}{T_{m}T_{l}s^{2}+ T_{m}s+1}}{1+\alpha K_{p} \dfrac{K_{s}}{T_{s}s+1} \dfrac{1 / {C_{e}}}{T_{m}T_{l}s^{2}+ T_{m}s+1}} \\ \\ &= \dfrac{K_{p}K_{s} / C_{e}}{(T_{s}s+1)(T_{m}T_{l}s^{2}+T_{m}s+1)+\dfrac{\alpha K_{p}K_{s}}{C_{e}}} \end{align}$$ [[线性系统稳定性分析\|线性系统稳定性分析]]