二阶系统的标准形式
\text{Open loop:}\quad G(s)&=\frac{\omega _{n}^{2}}{s(s+2\zeta \omega _{n})} \\
\text{Closed loop:}\quad \Phi(s)&=\frac{\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega_{n}^{2}} =\frac{1}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts+1}
\end{align}$$
- $\omega_{n}$ 自然频率
- $\zeta$ 阻尼比
特征方程为[[一元二次方程\|一元二次方程]]： $s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega_{n}^{2}=0$
两根 $-\zeta \omega_{n}\pm \omega_{n}\sqrt{ \zeta^{2}-1 }=-\sigma \pm j\omega_{d}$
- **衰减系数** $\sigma=\zeta \omega_{n}$
- **阻尼振荡频率** $\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{ 1-\zeta^{2} }$
>[!note] 特征根的性质取决于 $\zeta$ 的大小
>
> 一方面影响实部的正负来影响模态，决定发散还是收敛；另一方面决定有无虚部，决定是否振荡
>
>[!note] 阻尼
>
>在振动或运动系统中，由于介质或其他原因而引起的系统运动的逐渐减弱或趋于稳定的现象
>> 本质是系统中**能量的耗散**
### 二、单位阶跃响应
当 $\left\lvert \zeta \right\rvert<1$ 时：
$$\begin{align}
C(s)&=\frac{1}{s} \frac{\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega_{n}^{2}} =\frac{1}{s} \frac{\omega _{n}^{2}}{(s+\sigma-j\omega _{d})(s+\sigma+j\omega _{d})} \\
&=\frac{1}{s}+\frac{c_{1}}{s+\sigma-j\omega _{d}}+\frac{c_{2}}{s+\sigma+j\omega _{d}} \\ \\
c_{1}&=\frac{\omega _{n}^{2}}{(-\sigma +j\omega _{d})(2j\omega d)}=\frac{1}{2(-\zeta+j\sqrt{ 1-\zeta^{2} })j\sqrt{ 1-\zeta^{2} }} \\
&=-\frac{1}{2} \frac{j\zeta\sqrt{ 1-\zeta^{2}}-(1-\zeta^{2})}{1-\zeta^{2}}\\
\end{align}$$
$$\begin{align}
c(t)&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\zeta \omega _{n}t}(\sqrt{ 1-\zeta^{2} }\cos \omega _{d}t+\zeta \sin \omega _{d}t)\\
&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin(\omega _{d}t+\beta) \\
\beta&=\arctan \frac{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}{\zeta} \quad \zeta =\cos \beta
\end{align}$$
### 三、 $\zeta$ 大小与极点、响应的关系
#### 1. 不稳定
$\zeta<0$ 两个具有正实部的极点，**发散**
#### 2. 无阻尼
$\zeta=0$ 两个共轭**纯虚极点**，**等幅振荡**
$$\begin{align}
c(t)=1-\cos \omega _{n}t
\end{align}$$
#### 3. 欠阻尼
$0<\zeta<1$ 两个具有负实部的共轭复极点，**衰减振荡** [[欠阻尼二阶系统动态分析\|欠阻尼二阶系统动态分析]]
$$\begin{align}
c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin(\omega _{d}t+\beta)
\end{align}$$
#### 4. 临界阻尼
$\zeta=1$ 两个相同的负实极点，**无振荡，趋于稳定**，稳态值为 1 的无超调量单调上升过程
$$\begin{align}
1-e^{ -\omega _{n}t }(1+\omega _{n}t)
\end{align}$$
#### 5. 过阻尼
$1<\zeta$
$$\begin{gathered}
c(t)=1+\frac{e^{ -t/T_{1} }}{\frac{T_{2}}{T_{1}}-1}+\frac{e^{ -t/T_{2} }}{\frac{T_{1}}{T_{2}}-1} \\
T_{1}= \dfrac{1}{\omega _{n}(\zeta-\sqrt{ \zeta^{2}-1 })} \quad T_{2}= \dfrac{1}{\omega _{n}(\zeta+\sqrt{ \zeta^{2}-1 })}
\end{gathered}$$
两根 $-\zeta \omega_{n}\pm \omega_{n}\sqrt{ \zeta^{2}-1 }$
两个互异负实极点，**无振荡，趋于稳定**，$T_{1}\quad T_{2}$ 为[[时间常数\|时间常数]]
**上升时间**：$t_{r}= \dfrac{1+1.5\zeta+\zeta^{2}}{\omega_{n}}$
**调节时间**：$t_{s}=\dfrac{4.75}{\omega_{n}}$
$$\begin{align}
C(s)= \dfrac{\omega _{n}^{2}}{s(s+ \dfrac{1}{T_{1}})(s+ \dfrac{1}{T_{2}})}
\end{align}$$
$$\begin{align}
C(t)&=\mathscr{L}^{-1}[C(s)] \\
&=1+2Re\left( -\frac{1}{2} \frac{j\zeta\sqrt{ 1-\zeta^{2}}-(1-\zeta^{2})}{1-\zeta^{2}} \right) \\
&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}Re[(\zeta+\sqrt{ 1-\zeta^{2} }j)e^{(-\sigma+j\omega _{d})t}] \\
&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\sigma t}Re[(\zeta+\sqrt{ 1-\zeta^{2} }j)e^{j\omega _{d}t}] \\
&=1- \frac{1}{\sqrt{ 1-\zeta^{2} }}e^{-\sigma t}(\zeta \cos\omega _{d}t+\sqrt{ 1-\zeta^{2} }\sin \omega _{d}t)
\end{align}$$
