Linear Transformation of State Vectors
状态空间表达式进行线性变换变为标准型的基础。
Description
一、基本概念
\dot{\mathbf{x}} =A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=C\mathbf{x}+D\mathbf{u} \end{cases}$$ - **系统的特征值**：就是系统矩阵 $A$ 的[[特征值和特征向量\|特征值]]，也就是特征方程 $\left\lvert \lambda I-A \right\rvert=0$ 的根。 - **系统的不变量**： 特征多项式 $\left\lvert \lambda I-A \right\rvert=0$ 的系数（唯一地确定系统的特征值） 经过非奇异的线性变换后，系统的特征值和系统的不变量均不改变。 求变换矩阵 $T$，$\mathbf{x}=T\mathbf{z}$，将系统矩阵 $A$ 变换为 Jordan 标准型 $J=T^{-1}AT$，得到变换后的状态空间表达式： $$\begin{align} \begin{cases} T\mathbf{\dot{z}} = AT\mathbf{z}+B\mathbf{u} \\ \;\;\mathbf{y}=CT\mathbf{z} +D \mathbf{u} \end{cases}\quad \Rightarrow\quad \begin{cases} \dot{\mathbf{z}}=T^{-1}AT\mathbf{z}+T^{-1}B\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=CT\mathbf{z}+D\mathbf{u} \end{cases} \end{align}$$ $$\dot{\mathbf{z}}=T^{-1}AT\mathbf{z}+T^{-1}B\mathbf{u} =\begin{cases} \mathbf{\dot{z}}=\Lambda \mathbf{z}+T^{-1}B\mathbf{u} \quad \text{特征值无重根，化为对角阵}\\ \\ \mathbf{\dot{z}}=J \mathbf{z} +T^{-1}B\mathbf{u} \quad \text{特征值有重根，化为约旦标准型} \end{cases}$$ ### 一、系统矩阵为任意矩阵（通用形式） 计算系统矩阵的[[特征值和特征向量\|特征值和特征向量]]进行[[矩阵对角化\|矩阵对角化]] #### 1. 特征值无重根 由 $n$ 个互异特征值求得的 $n$ 个特征向量构成变换矩阵： $\left\lvert {\color{red}\lambda I-A} \right\rvert=0$ 计算出**特征值**，$(\lambda_{i}I-A)P_{i}=0$ 计算第 $i$ 个特征值对应的**特征向量** $P_{i}$ $$\begin{align} {\color{red}(\lambda_{i}I-A)}P_{i}=0 \quad \Rightarrow \quad T=\begin{pmatrix} {\mathbf{P}}_{1} , {\mathbf{P}}_{2} , \cdots , {\mathbf{P}}_{n} \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} \Lambda=T^{-1}AT= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 2. 特征值有重根 假设有 $q$ 个 $\lambda_{1}$ 的重根，其余 $(n-q)$ 个互异的根 $\mathbf{P}_{1}$ 为特征值 $\lambda_{1}$ 对应的 特征向量，$\mathbf{P}_{2},\cdots,\mathbf{P}_{q}$ 为广义特征向量 $$\begin{align} T=({\mathbf{P}}_{1} , {\mathbf{P}}_{2} , \cdots , \mathbf{P}_{q},\mathbf{P}_{q+1},\cdots,{\mathbf{P}}_{n}) \end{align}$$ $$\begin{cases} \lambda_{1}\mathbf{P}_{1}-A\mathbf{P}_{1}=0 \\ \lambda_{1}\mathbf{P}_{2}-A\mathbf{P}_{2}=-\mathbf{P}_{1} \\ \quad \vdots \\ \lambda_{1}\mathbf{P}_{q}-A\mathbf{P}_{q}=-\mathbf{P}_{q-1} \end{cases}\quad \quad \begin{cases} {\color{red}(\lambda_{1}I-A)}\mathbf{P}_{1}=0 \\ {\color{red}(\lambda_{1}I-A)}\mathbf{P}_{2}={\color{red}-}\mathbf{P}_{1} \\ {\color{red}(\lambda_{1}I-A)}\mathbf{P}_{3}={\color{red}-}\mathbf{P}_{2} \\ \quad \vdots \\ {\color{red}(\lambda_{1}I-A)}\mathbf{P}_{q}={\color{red}-}\mathbf{P}_{q-1} \end{cases}$$\begin{align} J=T^{-1}AT=\begin{pmatrix} J_{1} \ & \lambda_{q+1} \ & & \ddots \ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}{n\times n} \quad J{1}=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 1 & \ & \lambda_{1} & 1\ & & \ddots & 1\ & & & \lambda_{1} \ \end{pmatrix} \end{align}_{q\times q}
### 二、系统矩阵为友矩阵（标准型/特殊形式） 如果系统矩阵为[[友矩阵\|友矩阵]] $$\begin{align} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 1. 特征值无重根 $$\begin{align} T= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{n} \\ \lambda_{1}^{2} & \lambda_{2}^{2} & \cdots & \lambda_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{1}^{n-1} & \lambda_{2}^{n-1} & \cdots & \lambda_{n}^{n-1} \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} T_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \lambda_{3} \\ \lambda_{1}^{2} & \lambda_{2}^{2} & \lambda_{3}^{2} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 2. 特征值有重根 假设三重根： $$\begin{align} T= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ \lambda_{1} & 1 & 0 & \cdots & \lambda_{n}\\ \lambda_{1}^{2} & 2\lambda_{1} & 1 & \cdots & \lambda_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \lambda_{1}^{n-1} & \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \lambda_{1}} (\lambda_{1}^{n-1}) & \dfrac{1}{2} \dfrac{\mathrm{d}^{2} }{\mathrm{d} \lambda_{1}^{2}} (\lambda_{1}^{n-1}) & \cdots & \lambda_{n}^{n-1}\\ \end{pmatrix} \end{align}$$ $\dfrac{1}{n!} \dfrac{\mathrm{d}^{n} }{\mathrm{d} \lambda_{1}^{n}}(\lambda_{1}^{n})$ $$\begin{align} T_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \lambda_{1} & 1 & 0 \\ \lambda_{1}^{2} & 2\lambda_{1} & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ ### 三、并联型实现 （约旦标准型实现） 将传递函数分解为**部分分式之和**。[[有理函数\|有理分式的分解]] #### 1. 无重根 $$\begin{align} W(s)= \dfrac{c_{1}}{s-\lambda_{1}}+ \dfrac{c_{2}}{s-\lambda_{2}}+\cdots + \dfrac{c_{n}}{s-\lambda_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{c_{i}}{s-\lambda_{i}} \end{align}$$ $$\begin{align} A=\begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots\\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} c_{1}\quad c_{2}\quad \cdots\quad c_{n} \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} A=\begin{pmatrix} \lambda_{1} \\ & \lambda_{2} \\ & & \ddots\\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} c_{1}\\c_{2}\\\vdots\\ c_{n} \end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} 1\quad 1\quad \cdots \quad 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 2. 有重根 $$\begin{align} W(s)= \dfrac{c_{1q}}{(s-\lambda_{1})^{q}}+ \dfrac{c_{1(q-1)}}{(s-\lambda_{1})^{q-1}}+\cdots + \dfrac{c_{11}}{s-\lambda_{1}}+\sum\limits_{i=q+1}^{n} \dfrac{c_{i}}{s-\lambda_{i}} \end{align}$$ $$\begin{align} A=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 1 \\ & \lambda_{1} & 1 \\ & & \ddots & 1\\ & & & \color{red}\lambda_{1} \\ & & & & \color{red}\lambda_{q+1} \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & \color{red}\lambda_{n} \end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots \\ \color{red}1\\ \color{red}1\\ \vdots \\\color{red}1 \end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} c_{1q}\quad c_{1(q-1)}\quad \cdots \quad c_{11}\quad c_{q+1}\quad \cdots\quad c_{n} \end{pmatrix} \end{align}$$