State Space Representation
得到状态空间表达式
\begin{cases} \dot{\mathbf{x}} ={\color{red}{A} } \mathbf{x}+{\color{blue}{B} }\mathbf{u} \\\\ \mathbf{y}={\color{green}{C} }\mathbf{x}+D\mathbf{u} \end{cases} \end{align}$$ ### 一、从内部结构机理建立 #### 1.1 系统模拟结构图建立 和经典控制理论的[[系统结构框图\|系统结构框图]]一致，使用框图表示信号传递关系。 **积分器的个数和状态变量数一致，积分器的输出就为状态变量**。输入 $\dot{x}$, 输出 $x$  #### 1.2 系统机理建立 $$\begin{align} C \dfrac{\mathrm{d} u_{C}}{\mathrm{d} t}=i\quad L\dfrac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} =u_{L} \end{align}$$ ### 二、从外部描述建立 **实现问题**：由描述系统输入-输出动态关系的**微分方程/差分方程**或**传递函数**建立系统的**状态空间表达式**。（保持了原有的输入-输出关系，又将系统的内部关系揭示出来；注意系统的实现是不唯一的） #### 2.1 传递函数无零点 高阶微分方程： $$\begin{align} y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots + a_{1}y' +a_{0}y=b_{0} u(t) \end{align}$$ 对应传递函数： $$\begin{align} W(s)= \dfrac{b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots + a_{1}s+a_{0}} \end{align}$$ 取系统状态空间表达式为： $$\begin{align} \begin{cases} \dot{x}_{1}=x_{2} \\ \dot{x}_{2}=x_{3} \\ \quad \;\vdots \\ \dot{x}_{n-1}=x_{n} \\ \dot{x}_{n}=-a_{0}x_{1}-a_{1}x_{2}-\cdots-a_{n-1}x_{n}+u \end{cases}\quad y=b_{0}x_{1} \end{align}$$ 对应状态空间表达式： $$\begin{align} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix}\quad B= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad C= \begin{pmatrix} b_{0}\quad 0\quad \cdots\quad 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ 系统矩阵为特征多项式对应的[[友矩阵\|友矩阵]]！ #### 2.2 传递函数有零点 高阶微分方程： $$\begin{align} y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots + a_{1}y' +a_{0}y=b_{m} u^{(m)}+ b_{m-1} u^{(m-1)}+\cdots + b_{1}u'+b_{0}u \end{align}$$ 对应传递函数： $$\begin{align} W(s)= \dfrac{b_{m}s^{m}+ b_{m-1} s^{m-1}+\cdots + b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots + a_{1}s+a_{0}}\quad m\leq n \end{align}$$ 对应状态空间表达式：(以下是当 $m=n$ 时情况，如果 $m<n$，注意 $b_{m+1},\cdots, b_{n}=0$ 即可) **形式一**： $$\begin{gathered} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix}\quad B= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\quad \\ \\ C= \begin{pmatrix} b_{0}-a_{0}b_{n} \quad b_{1}-a_{1}b_{n}\quad \cdots\quad b_{n-1}-a_{n-1}b_{n} \end{pmatrix}\quad D=b_{n} \end{gathered}$$ （实际上为[[状态空间表达式的能控标准型和能观标准型#1.1 能控标准 I 型\|状态空间表达式的能控标准型和能观标准型#1.1 能控标准 I 型]]） ~~形式二：~~ $$\begin{gathered} A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix}\quad B= \begin{pmatrix} \beta_{n-1} \\ \beta_{n-2} \\ \vdots \\ \beta_{1} \\ \beta_{0} \end{pmatrix}\quad \\ \\ C= \begin{pmatrix} 1 \quad 0\quad \cdots\quad 0\quad 0 \end{pmatrix}\quad \quad \quad \quad D=\beta_{n} \\ \\ \begin{pmatrix} 1 \\a_{n-1} & 1 \\ a_{n-2} & a_{n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots \\ a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-1 } & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta _{n} \\ \beta_{n-1} \\ \beta_{n-2} \\ \vdots \\ \beta_{0} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{n} \\ b_{n-1 } \\b_{n-2} \\ \vdots \\ b_{0} \end{pmatrix} \end{gathered}$$ $$\begin{align} \beta_{n} & =b_{n} \\ \beta_{n-1} & =b_{n-1}-a_{n-1}\beta_{n} \\ \beta_{n-2} & =b_{n-2}-a_{n-2}\beta_{n} -a_{n-1}\beta_{n-1} \\ \vdots \\ \beta_{0} & =b_{0}-a_{0}\beta_{n} -a_{1}\beta_{n-1}-\cdots-a_{n-1}\beta_{1} \end{align}$$Description