Transform Fuction
复变量的有理分式 函数
- 使用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式
- 只取决于系统或元件的结构与参数，表征了系统本身的动态特性
- 输出（果）= 输入（因）
- 与微分方程对应 一个 就是一个微分算子
一、传递函数标准形式
1. 首 1 标准型
零极点形式，常见于根轨迹法：
G(s)&=\frac{b_{0}(s-z_{1})(s-z_{2})\cdots(s-z_{m})}{a_{0}(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots(s-p_{n})} =K^{*}\frac{\prod\limits_{i=1}^{m}(s-z_{i}) }{\prod\limits_{j=1}^{n}(s-p_{j})} \end{align}$$ - $K^{*}= \dfrac{b_{0}}{a_{0}}$ 为==根轨迹增益== #### 2. 尾 1 标准型 常见于[[经典控制理论#四、频域分析法\|频域分析法]]\begin{align} G(s)=\dfrac{K \prod\limits_{i=1}^{m_{1}}(\tau_{i}s+1)\prod\limits_{k=1}^{m_{2}}(\tau_{k}^{2}s^{2}+2\zeta_{k}\tau_{k}s+1)}{s^{v}\prod\limits_{j=1}^{n_{1}}(T_{j}s+1)\prod\limits_{l=1}^{n_{2}}(T_{l}^{2}s^{2}+2\zeta_{l}T_{l}s+1)} \end{align}
- $\tau\quad T$ 为[[时间常数\|时间常数]] - $K$ 为==传递函数系数/系统的增益== - 传递函数分母为特征方程 ### 二、极点与零点 **极点**：分母多项式的解 ×，特征方程的根（特征根），可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的[[模态\|模态]]，如果有极点 $p_{1},p_{2}$，则有模态：$e^{ p_{1}t }$ $e^{ p_{2} t}$ **零点**：分子多项式的解 O， 不形成自由运动的模态，但是影响各模态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状 >[!note] 注意 > > 1. 零点、极点、原点三者之间的距离共同影响响应曲线 （[[零极点\|零极点]] ） > 2. 实际上，非零初始条件不会影响系统的传递函数，非零的输入与实际输入量满足叠加原理 ### 三、传递函数的计算 [[经典输入信号\|经典输入信号]] #### 3.1 基本传函  1. 前向通路传递函数：输入端到输出端的通路的传递函数的乘积 （看**输入**和**输出**信号） 2. 开环传递函数：**打开主反馈回路**，**主反馈信号与误差信号之比** （与输入信号无关，由**系统本身结构**决定） $$\begin{align} G_{o}(S)=\dfrac{B(s)}{E(s)}=G_c(s)G_{p}(s)H(s) \end{align}$$ 3. 闭环传递函数： $$闭环传递函数=\dfrac{前向通路传递函数}{1+开环传递函数}$$ 4. 误差传递函数：误差信号与输入信号之比 $$\begin{align} \dfrac{C(s)}{R(s)}= \dfrac{G_{c}(s)G_{p}(s)}{1+G_{o}(s)} \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{C(s)}{N(s)}=\dfrac{G_{p}(s)}{1+G_{o}(s)} \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{E(s)}{N(s)}= \dfrac{-G_{p}(s)H(s)}{1+G_{o}(s)} \end{align}$$ #### 3.2 求传递函数的方法 - [[系统结构框图\|系统结构框图]] - [[信号流图\|信号流图]] ### 四、时间响应 已知传递函数 $G(s)$，求给定输入 $I(s)$ 下系统的输出 $O(s)$ 最终输出 $o(+\infty)$ 一般给定输入为[[经典输入信号\|经典输入信号]]，求时间响应：主要使用[[拉普拉斯变换#6.极限性质\|拉普拉斯变换#6.极限性质]] $$\begin{align} O(s)=G(s)I(s)\quad o(+\infty)=\lim\limits_{ s \to 0 }sG(s)I(s) \end{align}$$ ### 五、经典环节的传递函数 [[经典环节的传递函数\|经典环节的传递函数]] #### RLC 电路 [[电路元件\|电路元件]]的传递函数 - **电阻**： $\dfrac{U(s)}{I(s)}=R$ - **电容**： $\dfrac{U(s)}{I(s)}= \dfrac{1}{Cs}$ - **电感**： $\dfrac{U(s)}{I(s)}=Ls$ **复数阻抗法**：列写网络的微分方程时，由于流过电流相同。可以直接将输出电压和输入电压的比值，直接列写出传函，再拉普拉斯逆变换，求时域的微分关系 #### 例题 - 并联/串联电路的复数阻抗**类似于求电阻** - 类似于分压原理求最后传函  $$\begin{align} \dfrac{U_{o}(s)}{U_{i}(s)}&= \dfrac{R_{2}+ \dfrac{1}{C_{2}s}}{\dfrac{R_{1} \dfrac{1}{C_{1}s}}{R_{1}+ \dfrac{1}{C_{1}s}}+R_{2}+ \dfrac{1}{C_{2}s}} \end{align}$$ ### 六、非零初始条件的传递函数 #### 基本流程 - 先根据系统结构，得到**零初始条件下的传递函数** - 根据拉普拉斯逆变换，写出**传递函数对应的微分方程**（注意“输出=输入”，输出在左，输入在右） - 再进行拉普拉斯变换，得到非零初始条件下的传递函数（注意使用**带初值的微分性质**） $$\begin{align} \mathscr{L}[f'(t)]&=sF(s)-f(0) \\ \mathscr{L}[f''(t)]&=s^{2}F(s)-[sf(0)+f'(0)] \\ \mathscr{L}[f'''(t)]&=s^{3}F(s)-[s^{2}f(0)+sf'(0)+f''(0)] \end{align}$$ - 最后拉普拉斯逆变换：求有初值的**时间响应** #### 例题 控制系统传递函数为：$G(s)= \dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{1}{s+2}$，当初始条件 $c(0)=1$ 时，求系统的单位阶跃响应 1. 已有传递函数：$(s+2)C(s)=R(s)$ 2. 拉式逆变换，对应的微分方程：$\dfrac{\mathrm{d} c(t)}{\mathrm{d} t}+2c(t)=r(t)$ 3. 拉氏变换，得到有初值的传递函数：$sC(s)-c(0)+2C(s)= \dfrac{1}{s}$ $C(s)=\dfrac{s+1}{s(s+2)}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{s}+ \dfrac{1}{s+2})$ 4. 拉普拉斯逆变换，得到时间响应：$c(t)=\dfrac{1}{2}(1+e^{ -2t })$ 求时间响应 $y(t)$ ： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} +5\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} +6y(t)=6x(t) \end{align}$$ - $y(0)=y'(0)=2\quad x(t)=1(t)$ $$\begin{align} & s^{2}Y(s)-sf(0)-f'(0)+5[sY(s)-f(0)]+6Y(s)=\dfrac{6}{s} \\ & Y(s)= \dfrac{6}{(s^{2}+5s+6)s}+ \dfrac{2s+12}{s^{2}+5s+6} \\ & \quad \quad \;= \dfrac{1}{s}+ -\dfrac{3}{s+2}+ \dfrac{2}{s+3}+ \dfrac{8}{s+2}+ -\dfrac{6}{s+3} \\ & y(t)= 1(t)+5e^{ -2t }-4e^{ -3t } \end{align}$$