线性系统的结构分解

将状态空间按照能控性和能观性进行结构分解，在理论上揭示了状态空间的本质特征，也为最小实现问题提供了理论依据。

对于线性定常系统：

\dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \\ \mathbf{y} =C\mathbf{x} \end{cases}$$ ### 一、按能控性分解 [[线性定常系统的能控性\|能控性]]判别矩阵： $$\begin{align} rank\; M =rank \; \begin{pmatrix} B & AB & \cdots & A^{n-1}B \end{pmatrix}= n_{1}<n \end{align}$$ 则存在非奇异变换 $R_{c}$：前 $n_{1}$ 个**列向量**取能控性判别矩阵的 $n_{1}$ 个**线性无关的列**，另外 $n-n_{1}$ 个列可以任意选取（只要保证 $R_{c}$ 线性无关即可，可以尽量选取的简单） 得到变换后的状态空间表达式： $$\mathbf{x}=R_{c}\mathbf{\hat{x}} \Rightarrow\begin{cases} \dot{\hat{\mathbf{x}}}=\hat{A} \hat{\mathbf{x}}+\hat{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\hat{C}\mathbf{\hat{x}} \end{cases}$$ $$\begin{align} \hat{A} & =R_{c}^{-1}AR_{c}=\begin{pmatrix} \color{red}{\hat{A}_{11}} & \hat{A}_{12} \\ 0 & \hat{A}_{22} \end{pmatrix} \\ \hat{B} & =R_{c}^{-1}B=\begin{pmatrix} \color{red}{\hat{B}_{1}}\\ \mathbf{0} \end{pmatrix} \\ \hat{C} & = CR_{c}=\begin{pmatrix} \color{red}{\hat{C}_{1}} & \hat{C}_{2} \end{pmatrix} \\ \hat{\mathbf{x}} & =\begin{pmatrix} \color{red}{\hat{\mathbf{x}}_{1}} \\ -- \\ {\mathbf{x}}_{2} \end{pmatrix}\quad {\mathbf{u}} =\begin{pmatrix} \color{red}{{\mathbf{u}}_{1}} \\ -- \\ {\mathbf{u}}_{2} \end{pmatrix} \end{align}$$ **能控子空间**：$\dot{\hat{\mathbf{x}}}_{1}=\hat{A}_{11}\hat{\mathbf{x}}_{1}+\hat{B}_{1}\mathbf{u}_{1}$ ### 二、按能观性分解 [[线性定常系统的能观性\|能观性]]判别矩阵： $$\begin{align} rank \;N=rank \begin{pmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}=n_{1}<n \end{align}$$ 则存在非奇异变换 $R_{o}$ ：**其逆矩阵** $R_{o}^{\color{red}-1}$ 的前 $n_{1}$ 个**行向量**取能控性判别矩阵的 $n_{1}$ 个**线性无关的行**，另外 $n-n_{1}$ 个行可以任意选取（只要保证 $R_{o}^{-1}$ 线性无关即可，可以尽量选取的简单） >[!important] 注意 > >能观性分解时，首先得到的是**非奇异变换的逆矩阵**！而不是非奇异变换本身！！！ 得到变换后的状态空间表达式： $$\mathbf{x}=R_{o}\mathbf{\tilde{x}} \Rightarrow\begin{cases} \dot{\tilde{\mathbf{x}}}=\tilde{A} \tilde{\mathbf{x}}+\tilde{B}\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=\tilde{C}\mathbf{\tilde{x}} \end{cases}$$ $$\begin{align} \tilde{A} & =R_{o}^{-1}AR_{o}=\begin{pmatrix} \color{red}{\tilde{A}_{11}} & 0\\ \tilde{A}_{21} & \tilde{A}_{22} \end{pmatrix} \\ \tilde{B} & =R_{o}^{-1}B=\begin{pmatrix} \color{red}{\tilde{B}_{1}}\\ \tilde{B}_{2} \end{pmatrix} \\ \tilde{C} & = CR_{o}=\begin{pmatrix} \color{red}{\tilde{C}_{1}} & \mathbf{0} \end{pmatrix} \\ \tilde{\mathbf{x}} & =\begin{pmatrix} \color{red}{\tilde{\mathbf{x}}_{1}} \\ -- \\ \tilde{\mathbf{x}}_{2} \end{pmatrix} \end{align}$$ **能观子空间**： $$\begin{align} \tilde{\hat{\mathbf{x}}}_{1} & =\tilde{A}_{11}\tilde{\mathbf{x}}_{1}+\tilde{B}_{1}\mathbf{u}_{1} \\ \mathbf{y} & =\tilde{C}_{1} \tilde{\mathbf{x}}_{1} \end{align}$$ ### 三、按能控能观性分解 如果系统不完全能观，不完全能控，则可以分解为四个子空间（实际上是先进行能控性分解，再进行能观性分解） $$\begin{align} {A} & =R^{-1}AR=\begin{pmatrix} \color{#c44869}{{A}_{11}} & 0 & A_{13} & 0\\ {A}_{21} & \color{#e371aa}{{A}_{22}} & A_{23} & A_{24} \\ 0 & 0 & \color{#00c9ab}{A_{33}} & 0 \\ 0 & 0 & A_{34} & \color{#005b47}{A_{44}} \end{pmatrix} \\ {B} & =R^{-1}B=\begin{pmatrix} {B}_{1}\\ {B}_{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ {C} & = CR=\begin{pmatrix} {C}_{1} & 0 & C_{3} & 0 \end{pmatrix} \\ {\mathbf{x}} & =\begin{pmatrix} \color{#c44869}{\mathbf{x}_{co}} \\ \color{#e371aa}{\mathbf{x}_{c \bar{o}}} \\ \color{#00c9ab}{\mathbf{x}_{\bar{c}o}} \\ \color{#005b47}{\mathbf{x}_{\bar{c} \bar{o}}} \end{pmatrix} \end{align}$$