Vector
向量基础以及地位
- 在线性代数中：作为矩阵的基础，研究空间、维度、基等概念
- 在几何学中：是平面解析几何的基础，也可作为空间解析几何的工具
- 在微积分学中：作为多元微积分的基础，进行向量函数的微分与积分
- 在物理学中：称之为矢量，是运动学和动力学的基础
向量的运算
\boldsymbol{r}=(x,y,z)\quad \left\lvert \boldsymbol{r} \right\rvert=\sqrt{ x^{2}+y^{2}+z^{2} } \end{align}$$ 向量的方向余弦： $$\begin{align} (\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)=\dfrac{(x,y,z) }{\left\lvert \boldsymbol{r} \right\rvert}= \dfrac{\boldsymbol{r}}{\left\lvert \boldsymbol{r} \right\rvert}=\boldsymbol{e}_{r} \end{align}$$ $$\begin{align} \cos^{2} \alpha+\cos^{2} \beta+\cos^{2} \gamma=1 \end{align}$$  #### 1. 数量积 Dot Product 在数学中是一个定义在向量空间上的二元运算，它将两个向量映射到一个标量。 $$\begin{align} \boldsymbol{v}&=(v_{1},v_{2},v_{3}) \\ \boldsymbol{w}&=(w_{1},w_{2},w_{3}) \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{w}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3} \end{align}$$ 向量的正交性：正交性是一个概念，用于描述两个向量在内积空间中垂直的关系。如果两个向量的内积为零，则称这两个向量是正交的。 #### 2. 向量积 Cross Product 由两个已知向量来确定另一个向量 $$\begin{align} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}&=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix} \end{align}$$ - 向量积的大小： $\left\lvert \boldsymbol{c} \right\rvert=\left\lvert \boldsymbol{a}\right\rvert \left\lvert \boldsymbol{b} \right\rvert \sin\theta$ - 向量积的方向： 垂直于两个向量所决定的平面，指向按照[[手性\|右手规则]]从 $\boldsymbol{a}$ 转到 $\boldsymbol{b}$ 来确定 向量积的坐标表示：使用三阶[[行列式\|行列式]]记忆 $$\begin{align} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}, \mathbf{y}=\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}, \mathbf{z}=\mathbf{x} \times \mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2} \\ x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3} \\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \end{bmatrix} \end{align}$$ #### 3. 混合积 Scalar Triple Product 几何意义是平行六面体的体积： 1. 先进行向量积，得到长度为以两个向量为边的平行四边形的面积的向量 2. 再进行数量积，相当于再乘以高，最终结果正好是以三个向量为边的平行六面体的体积 3. $$\begin{align} \begin{bmatrix} \boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} & \boldsymbol{c} \end{bmatrix}&=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c} =\begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{vmatrix} \end{align}$$  ### 向量基本定理 ### 应用 计算三角形面积 $$\begin{align} S_{\triangle ABC}= \dfrac{1}{2} \left\lvert \overrightarrow{AB} \right\rvert \left\lvert \overrightarrow{AC} \right\rvert \sin \angle A= \dfrac{1}{2} \left\lvert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right\rvert \end{align}$$ --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Vector** ### 向量基础以及地位 - 在线性代数中：作为[[矩阵\|矩阵]]的基础，研究空间、维度、基等概念 - 在几何学中：是平面解析几何的基础，也可作为空间解析几何的工具 - 在微积分学中：作为多元微积分的基础，进行向量函数的微分与积分 - 在物理学中：称之为**矢量**，是运动学和动力学的基础 ### 向量的运算 $$\begin{align} \boldsymbol{r}=(x,y,z)\quad \left\lvert \boldsymbol{r} \right\rvert=\sqrt{ x^{2}+y^{2}+z^{2} } \end{align}$$ 向量的方向余弦： $$\begin{align} (\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)=\dfrac{(x,y,z) }{\left\lvert \boldsymbol{r} \right\rvert}= \dfrac{\boldsymbol{r}}{\left\lvert \boldsymbol{r} \right\rvert}=\boldsymbol{e}_{r} \end{align}$$ $$\begin{align} \cos^{2} \alpha+\cos^{2} \beta+\cos^{2} \gamma=1 \end{align}$$  #### 1. 数量积 Dot Product 在数学中是一个定义在向量空间上的二元运算，它将两个向量映射到一个标量。 $$\begin{align} \boldsymbol{v}&=(v_{1},v_{2},v_{3}) \\ \boldsymbol{w}&=(w_{1},w_{2},w_{3}) \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{v}\cdot \boldsymbol{w}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3} \end{align}$$ 向量的正交性：正交性是一个概念，用于描述两个向量在内积空间中垂直的关系。如果两个向量的内积为零，则称这两个向量是正交的。 #### 2. 向量积 Cross Product 由两个已知向量来确定另一个向量 $$\begin{align} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}&=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{vmatrix} \end{align}$$ - 向量积的大小： $\left\lvert \boldsymbol{c} \right\rvert=\left\lvert \boldsymbol{a}\right\rvert \left\lvert \boldsymbol{b} \right\rvert \sin\theta$ - 向量积的方向： 垂直于两个向量所决定的平面，指向按照[[手性\|右手规则]]从 $\boldsymbol{a}$ 转到 $\boldsymbol{b}$ 来确定 向量积的坐标表示：使用三阶[[行列式\|行列式]]记忆 $$\begin{align} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}, \mathbf{y}=\begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix}, \mathbf{z}=\mathbf{x} \times \mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2} \\ x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3} \\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \end{bmatrix} \end{align}$$ #### 3. 混合积 Scalar Triple Product 几何意义是平行六面体的体积： 1. 先进行向量积，得到长度为以两个向量为边的平行四边形的面积的向量 2. 再进行数量积，相当于再乘以高，最终结果正好是以三个向量为边的平行六面体的体积 3.\begin{align} \begin{bmatrix} v_2w_3-v_3w_2\ v_3w_1-v_1w_3\ v_1w_2-v_2w_1 \end{bmatrix} \end{align}
给出垂直于 $v,w$ 所在平面的向量，其长度等于由 $v,w$ 张成的平行四边形面积。  ### 维度边界 向量属于哪个空间，由分量个数决定。$(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的向量，$(x,y,0)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量；即使它们在平面图像上看起来相似，也不是同一个对象。二维向量不能直接和三维向量相加。 同理，列向量和行向量也要区分。$(1,1,-1)$ 在上下文中常只是三维列向量的行内省略写法；真正的 $1\times3$ 行向量 $[1\ 1\ -1]$ 与 $3\times1$ 列向量形状不同，在[[矩阵乘法\|矩阵乘法]]中会产生不同结果。 维度检查是使用向量时的第一道防线。两个向量只有处在同一维空间中，才谈得上逐分量相加；矩阵乘向量时，矩阵列数必须等于输入列向量的分量数。 ### 在线性组合/张成中的角色 向量是[[线性组合\|线性组合]]的基本材料。一个线性组合形如c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k,
它只使用向量加法和标量数乘。单个组合给出一个具体向量；允许所有系数变化，就得到这些向量的[[张成\|张成]]。 一个非零向量 $v$ 的全部倍数 $cv$ 形成一条过原点的直线。两个不共线向量 $u,v$ 的全部组合 $cu+dv$ 形成一张过原点的平面。三个合适的三维向量 $u,v,w$ 的全部组合 $cu+dv+ew$ 可以填满整个 $\mathbb{R}^3$。如果第三个向量已经在前两个向量的平面内，它不会扩展[[张成空间\|张成空间]]。 在线性方程组中，方程 $Ax=b$ 也可以理解为：目标向量 $b$ 是否能由矩阵 $A$ 的列向量线性组合出来。因此向量不是孤立的坐标表，而是连接[[线性方程组\|线性方程组]]、矩阵和空间几何的基本对象。 ### 常见误区 零向量不是数字 $0$。数字 $0$ 是一个标量；$(0,0)^T$、$(0,0,0)^T$ 才是具体空间中的零向量。它们都记作 $\mathbf 0$ 时，必须根据上下文判断维度。 向量的分量不能跨维相加。$(x,y)$ 与 $(x,y,0)$ 不同，$[1\ 2]$ 与 $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ 也不同；前者是行向量，后者是列向量。 点积和叉积不是向量定义的一部分。向量在 1.1 中的核心操作是 $v+w$ 和 $cv$；点积、叉积是在此基础上加入的额外运算，分别服务于正交、长度、面积和方向等几何问题。 “箭头位置”不是向量本身的一部分。只要方向和长度相同，把箭头平移到别处仍表示同一个自由向量；在线性代数中通常把箭头从原点画起，是为了让分量、终点和坐标直接对应。