孤立奇点

Isolated Singularity

函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，而在 $z_0$ 的某一去心邻域 $0<|z-z_0|<\delta$ 内处处解析，则 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点

注意

孤立奇点一定为奇点，而奇点不一定为孤立奇点， 比如： $f(z)=\frac{z^2}{\sin \frac{1}{z}}$ 的奇点 0不是孤立奇点，函数奇点为 $\sin \frac{1}{z}=0$, 也即： $z=0z=\frac{1}{k\pi }$ 而 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{k\pi }=0$, 在 $z=0$ 的去心邻域内，总有其他不解析的奇点存在，所以 0 不是孤立奇点

一、孤立奇点的分类

根据孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类：

graph LR
孤立奇点-->分类 & 判定
分类--> 可去奇点 & 极点 & 本性奇点
判定 --> 1["根据定义：\n 洛朗级数展开"] & 2["极限判定：\n 求函数趋于孤立奇点的极限值"]

1. 可去奇点

定义判定：如果洛朗级数中不含 $z-z_0$ 的负幂项，则孤立奇点为可去奇点 极限判定：$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$ 如果极限存在且为有限值，则为可去奇点（通过补充定义可以使得函数处处解析）

2. 极点

定义判定：如果洛朗级数中只有有限多个 $z-z_0$ 的负幂项，且洛朗级数的负幂项的最高次幂为 $m$，$(z-z_0{)}^{-m}$ 或者写成：$f(z)=\frac{1}{(z-z_0{)}^m}g(z)$，$g(z)$ 在 $z_0$ 处解析，且 $g(z_0)\ne 0$

则孤立奇点为 $m$ 级极点

极限判定：$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\infty$，则为极点

注意

极点阶数的判断不能 “流于表面”，要同时考虑分子和分母，更要尤其注意形式不为 $(z-z_0)$ 的幂次。要实际地讨论，或者转为零点的判断

3. 本性奇点

定义判定：含有无穷多个负幂项，则孤立奇点为本性奇点

极限判定：$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$ 极限不存在，也不为 $\infty$，则为本性奇点 (例如：$e^{1/z}$)

二、零点

零点定义

不恒等于 0 的解析函数 $f(z)$ 如果能表示成： $f(z)=(z-z_0{)}^m\phi (z)$ $\phi (z)$ 在 $z_0$ 解析且 $\phi (z_0)\ne 0$，$m$ 为正整数，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 $m$ 级零点

零点的判定

$f(z)$ 在 $z_0$ 解析，$m$ 级零点的充要条件：

& f^{(n)}(z_{0})=0 \quad (n=1,2,\cdots,m-1) \\ & f^{(m)}(z_{0})\neq 0 \end{align}$$ 由[[高阶导数\|高阶导数]]的求导易知：[[泰勒级数（复数意义）\|幂级数展开]]的最低幂次的次数即为零点的级数 $z=0$ 是 $\dfrac{e^{ z }}{z(1-\cos z)}$ 的？ 注意到 $z=0$ 使得分母的 $z\quad(1-\cos z)$ 都为 0， 但是只能初步判断极点的级数大于等于 2，而不一定就为 2 转为零点阶数判断 $(z(1-\cos z))'=1-\cos z+z\sin z$ $z=0$ 时，一阶导数为 0 $(z(1-\cos z))''=\sin z+\sin z+z\cos z$ $z=0$ 时，二阶导数为 0 $(z(1-\cos z))'''=2\cos z+\cos z-z\sin z$ $z=0$ 时，三阶导数不为 0 所以综上，$z=0$ 是原函数的三级极点 #### 零点与极点的关系 如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 级极点/零点，则 $z_0$ 就是的 $m$级零点/极点 可以将讨论==极点==转化为讨论==零点== $$\begin{align} \\ \dfrac{g(z)}{f(z)}= \dfrac{(z-z_{0})^{n}\psi(z)}{(z-z_{0})^{m}\varphi(z)}=\begin{cases} n-m级零点 \quad n>m\\ \quad 可去奇点 \,\,\,\,\quad n=m\\ m-n级极点\quad n<m \end{cases} \\ \end{align}$$ >[!tip] 为什么有“零点的判定” > >因为有些函数形式上不为 $(z-z_{0})^{n}$ 的展开形式，可以直接洛朗级数展开，也可以使用充要条件，求导数判定 > > 有些函数极点阶数的判断也可借助零点判断的方法 ### 三、无穷远点 $f(z)$ 在[[复平面\|无穷远点]] $z=\infty$ 的去心邻域 $R<\left\lvert z \right\rvert<+\infty$ 内解析，则称 $\infty$ 为 $f(z)$ 的==孤立奇点== **变换**：$t= \dfrac{1}{z}\to f(z)=\varphi(t)$ $R<\left\lvert z \right\rvert<+\infty \to 0<\left\lvert t \right\rvert< \dfrac{1}{R}$ $t=0$ 对应 $\varphi(t)$ 的极点类型**等价于** $z=\infty$ 对应 $f(z)$ 的极点类型 对于洛朗级数展开的幂项 极限 $\lim\limits_{ n \to \infty }f(z)$ - ==可去奇点== - **不含正幂项** - 极限存在且为有限值 - ==m 级极点== - 含有有限多个正幂项，$z^{m}$ 为最高次幂 - 无穷大 - ==本性奇点== - 无穷多的正幂项 - 极限不存在且不为无穷大 ### 例题 1.函数在扩充复平面内有哪些类型奇点？ $$\begin{align} f(z)=\dfrac{(z^{2}-1)(z-2)^{3}}{(\sin \pi z)^{3}} \end{align}$$ 函数有奇点： $z=k\quad k\in Z$ 对分母而言：$(\sin \pi z)'\neq 0,z=k$ $z=k$ 为三级极点 对分子而言：$z=\pm{1}$ 为一级零点，$z=2$ 为三级零点 所以对函数而言： $z=k,k \in Z \cap k\neq\pm 1,2$ 为三级极点 $z=\pm{1}$ 为二级极点 $z=2$ 为可去奇点 扩充复平面： $z=\infty$ 时，$z=\infty$ 的去心邻域内包含不解析的奇点 所以 $z=\infty$ 不是孤立奇点 >[!important] 基本解法 > > 1. 首先判断函数分母的奇点，再看分子的零点 > 2. 根据零极点关系，判定孤立奇点的类型 > 3. 注意孤立奇点的定义