Derivative
导数的本质是极限, 是函数变化率的精确描述
一、基本定义
1. 导数
在某点 处的导数 即为因变量（函数值）在 处的变化率
y'=f'(x_{0})&=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \dfrac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) }{\Delta x}=\lim\limits_{ h \to 0 } \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) }{h} \end{align}$$ #### 2. 导函数 将导数定义中的 $x_{0}$ 换为 $x$，即得到导函数： $$\begin{align} y'=f'(x)&=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x) }{\Delta x} =\lim\limits_{ h \to 0 } \dfrac{f(x+h)-f(x) }{h} \end{align}$$ #### 3. 单侧导数 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导的充分必要条件为：左右导数都存在并相等 $$\begin{align} f'_{-}(x_{0})&=\lim\limits_{ h \to 0^{-} } \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) }{h} \\ f'_{+}(x_{0})&=\lim\limits_{ h \to 0^{+} } \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}) }{h} \\ \end{align}$$ ### 二、导数的几何意义 函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的导数 $f'(x_{0})$ 在几何上表示在点 $M(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线的斜率 在点 $M(x_{0},f(x_{0}))$ 处的切线： $$y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})$$ 在点 $M(x_{0},f(x_{0}))$ 处的法线： $$y-y_{0}= - \dfrac{1}{f'(x_{0})} (x-x_{0})$$ ### 三、求导法则 #### 1. 和、差、积、商的导数 如果函数 $u=u(x)$ $v=v(x)$ 都在点 $x$ 具有导数, 则它们的和、差、积、商都在 $x$ 具有导数 $$\begin{align} & (u\pm v)'=u'\pm v' \\ & (uv)'=uv'+u'v \\ & (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} \end{align}$$ 可推广到有限个可导函数的情况 (以三个变量的导数为例) $$\begin{gathered} (u+v-w )'=u'+v'-w' \\ \\ (uvw )'=(uv)'w+(uv) w' =u'vw+uv'w+uvw' \end{gathered}$$ #### 2. 反函数的导数 $$[f^{-1}(x)]'=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{ \Delta x \to 0 } \dfrac{1}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}}=\dfrac{1}{f'(y)}$$ #### 3. 复合函数的求导法则-链式法则 $u=g(x)$ 在 $x$ 可导，$y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导，导数为： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u} \cdot \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} \end{align}$$ 复合函数求导时，要分析函数可看作哪些函数复合而成，见[[复合函数的求导法则\|复合函数的求导法则]] ### 四、基础导数公式😍 $$\begin{gathered} (x^{\mu})'=\mu x^{\mu-1} \\ (a^{x})'=a^{x} \ln a \quad (e^{ x })'=e^{ x } \\ (\log_{a}x)' = \dfrac{1}{x\ln a} \quad (\ln x)'= \dfrac{1}{x} \\ (\sin x)' =\cos x \quad (\cos x)'=-\sin x \\ (\tan x)'=\sec ^{2}x \quad (\cot x)'=-\csc ^{2}x \\ (\sec x)'=\sec x\tan x \quad (\csc x)'=-\csc x \cot x \\ (\arcsin x)'= \dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }}\quad (\arccos x)'=- \dfrac{1}{\sqrt{ 1-x^{2} }} \\ (\arctan x)'= \dfrac{1}{1+x^{2}}\quad ( arccot x)'=- \dfrac{1}{1+x^{2}} \end{gathered}$$ >[!important] 导数的扩展 > >本节是建立在简单的**实变**意义下的**一元**的论述 >多元变量的导数参考[[偏导数\|偏导数]] >复变意义下参考：[[复变函数的导数\|复变函数的导数]]（实际上处理思维和二元偏导数类似）