拉普拉斯变换

Laplace Transform

将一个时域函数转换为复频域函数 $f(t)\to F(s)$ ， 将微分方程 变为代数方程

F(s) = \mathscr{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st} \, dt \end{align}$$ ### 一、与傅里叶变换的关系 $s=\sigma+j\omega$ $$\begin{align} \mathscr{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st} \, dt=\int _{-\infty}^{+\infty} f(t)u(t) e^{ -\sigma t }e^{ -j\omega t }\, \mathrm{d}t=\mathscr{F}\left[ f(t)u(t)e^{ -\sigma t }\right] \end{align}$$ 对 $f(t)$ 进行拉普拉斯变换，本质上是对 $f(t)u(t)e^{ -\sigma t }$ 进行[[傅里叶变换\|傅里叶变换]] - 乘上[[经典输入信号#2. 单位阶跃信号\|单位阶跃函数]] $u(t)$ 使得 $t<0$ 的部分为 0 - 然后在 $t>0$ 的部分乘上指数衰减 $e^{ -\sigma t }$，使得函数 $f(t)e^{ -\sigma t }$ 满足傅里叶积分的条件，进行积分变换 ### 二、拉普拉斯变换存在定理 函数 $f(t)$ 满足：在 $t\geq 0$ 的任何有限区间上分段连续，当 $t \to \infty$ 时，$f(t)$ 具有有限的增长性，存在常数 $M>0$ 以及 $c$，使得 $\left\lvert f(t) \right\rvert\leq Me^{ ct }\quad (0\leq t<\infty)$ 拉氏变换的收敛域 *ROC*: Region of convergence $$\begin{align} \mathscr{L}[e^{-at}]&=\int _{0}^{\infty} e^{-at} e^{-st}\, dt \\ &=\int _{0}^{\infty} e^{-(a+\sigma)t}e^{-j\omega t} \, dt \\ \because |e^{-j\omega t}|&=|\cos \omega t-i\sin \omega t|=1 \\ &\text{不影响收敛性}\\ \therefore -(a+\sigma )&<0 \to \sigma>-a \end{align}$$ ### 三、常见函数的拉氏变换 [[经典输入信号\|经典输入信号]]的拉氏变换： $$\begin{align} \mathscr{L}[e^{ -at }]&=\frac{1}{a+s} \\ \mathscr{L}[ 1(t)]&= \frac{1}{s} \\ \mathscr{L}[\delta(t) ]&=1 \\ \mathscr{L}[t]&=\frac{1}{s^{2}} \\ \mathscr{L}[t^{n}]&= \frac{n!}{s^{n+1}}\\ \mathscr{L}[\sin \omega t]&=\frac{\omega }{s^{2}+\omega^{2}} \\ \mathscr{L}[\cos \omega t]&=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}} \\ \mathscr{L}[e^{ -at }\sin \omega t]&=\dfrac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}} \\ \mathscr{L}[e^{ -at }\cos \omega t]&=\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega^{2}} \end{align}$$ ### 四、基本性质 #### 1.线性性质 $$\mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)$$ #### 2.时间尺度性质/相似性质 时间伸缩变换 **加速或减缓**仿真过程时间尺度 $$\begin{align} \mathscr{L}[f(t)]=F(s)\quad \Rightarrow \quad \mathscr{L}[f(\dfrac{t}{a})]=aF(as) \end{align}$$ #### 3. 位移性质 **时移性质：**$\mathscr{L}[f(t-t_{0})]=e^{ -st_{0} }F(s)$ 假设 $t<0$ 时 $f(t)=0$，$\mathscr{L}[f(t-t_{0})]=e^{ -st_{0} }F(s)$ $$\begin{align} \mathscr{L}[f(t-t_{0})]&=\int _{0}^{\infty} f(t-t_{0}) e^{-st}\, dt \\ &=\int _{-t_{0}}^{\infty} f(\tau)e^{ -s(\tau+t_{0}) }\, d\tau \\ &=e^{ -st_{0} }\int _{0}^{\infty} f(\tau)e^{ -s(\tau) }\, d\tau \\ &=e^{ -st_{0} }F(s) \end{align}$$ **频移性质：**$\mathscr{L}[e^{ at }f(t)]=F(s-a)$ #### 4.微分性质 **时域微分** $$\mathscr{L}[f^{(n)} (t)]=s^{n}F (s)-[s^{n-1}f (0)+s^{n-2}f' (0)+\cdots+f^{(n-1)}(0)]$$ $$\begin{align} \mathscr{L}[f'(t)]&=sF(s)-f(0) \\ \mathscr{L}[f''(t)]&=s^{2}F(s)-[sf(0)+f'(0)] \\ \mathscr{L}[f'''(t)]&=s^{3}F(s)-[s^{2}f(0)+sf'(0)+f''(0)] \end{align}$$ 导数： $\mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)$ $$\begin{align} \mathscr{L}[f'(t)]&=\int _{0}^{\infty} f'(t)e^{-st}\, dt \\ &=f(t)e^{-st}\mid_{0}^{\infty}+s\int _{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\, dt \\ &=-f(0)+sF(s) \\ \\ \mathscr{L}[f''(t)]&=s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0) \\ \\ \mathscr{L}[f^{(n)} ]&=s^{n}F(s)-[s^{n-1}f(0)+s^{n-2}f'(0)+\cdots+f^{(n-1)}(0)] \end{align}$$ **频域微分**：$\mathscr{L}[(-t)^{n}f(t)]=F^{(n)}(s)$ $$\begin{align} F'(s)&=\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} s} \int _{0}^{\infty} f(t)e^{ -st }\, dt \\ &= \int _{0}^{\infty} -tf(t)e^{ -st }\, dt \\ &=\mathscr{L}[-tf(t)] \end{align}$$ #### 5.积分性质 $$\begin{align} \mathscr{L}\left[ \int _{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \right]=\dfrac{1}{s}F(s) \\ \mathscr{L}\left[ \frac{f(t)}{t} \right]=\int _{s}^{\infty} F(u)\, du \end{align}$$ #### 6.极限性质 $$\begin{align} f(0^{+})=\lim\limits_{ s \to \infty }sF(s)\quad f(+\infty)=\lim\limits_{ s \to 0 }sF(s) \end{align}$$ 求时间响应的基础 **初值定理**：$f(0^{+})=\lim\limits_{ s \to \infty }sF(s)$ **终值定理**：$f(+\infty)=\lim\limits_{ s \to 0 }sF(s)$ （千万注意三角函数不能使用极限性质求稳态误差，注意极限性质应用的条件） [[线性系统稳态误差计算\|线性系统稳态误差计算]]的基础 1. **收敛性**：原函数 $f(t)$ 必须在 $t$ 趋于无穷大时收敛到一个有限值。这意味着原函数 $f(t)$ 在 $t$趋于无穷时不能有振荡或者无界的增长。 2. **可导性**：原函数$f(t)$ 至少需要在 $t$ 的正半轴上可导，以保证其拉普拉斯变换 $F(s)$ 的存在。 3. **拉普拉斯变换存在**：原函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$ 必须存在。这通常意味着 $f(t)$ 需要满足某些增长条件，使得拉普拉斯变换的积分收敛。 4. **解析性**：终值定理要求$F(s)$ 在复平面上的右半部分是解析的，即 F(s) 在 Re(s)>0 时是解析函数。 5. **无奇点**：在 s 趋于 0 时，F(s) 不能有奇点，即 F(s) 在$s=0$ 附近的行为必须是良好的。 #### 7.卷积性质 $$\mathscr{L}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$$ [[传递函数\|传递函数]]计算的基础：将[[卷积\|卷积]]变为乘积 ### 基本推导 指数： $$\begin{align} \mathscr{L}[e^{-at}]&=\int _{0}^{\infty} e^{-(a+s)t}\, dt =-\left. \frac{1}{a+s}e^{(a+s)t} \right\rvert _{0}^{\infty} =\frac{1}{a+s \\} \end{align}$$ 常数： $$\begin{align} \mathscr{L}[C]&=\mathscr{L}[Ce^{0t}] =C \frac{1}{s+0} =C \frac{1}{s} \end{align}$$ 三角函数：(使用[[欧拉公式\|欧拉公式]]) $\mathscr{L}[\sin at]=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}$ $\mathscr{L}[\cos at]=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}$ $$\begin{align} \mathscr{L}[\sin at]&= \mathscr{L}\left[ -\frac{i}{2}(e^{iat}-e^{-iat}) \right] \\ &=-\frac{i}{2}\{\mathscr{L}[e^{iat}]-\mathscr{L}[e^{-iat}]\} \\ &=-\frac{i}{2}\left( \frac{1}{s-ai}-\frac{1}{s+ai} \right) \\ &=-\frac{i}{2}\left( \frac{2ai}{s^{2}+a^{2}} \right)\\ &=\frac{a}{s^{2}+a^{2}} \end{align}$$ $$\begin{align} \mathscr{L}[\cos at]&=\mathscr{L}\left[ \frac{1}{2}(e^{iat}+e^{-iat}) \right] \\ &=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{s-ia}+\frac{1}{s+ia} \right) \\ &=\frac{1}{2}\left( \frac{2s}{s^{2}+a^{2}} \right) \\ &=\frac{s}{s^{2}+a^{2}} \end{align}

拉普拉斯变换的应用

求解常微分方程非常有效

1. 利用拉普拉斯变换将时域转到复频域
2. 四则运算
3. 拉普拉斯逆变换将复频域转到时域