曲面积分

Surface Integral

空间曲面的两类积分

一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）

曲面的质量，标量场积分

基本定义

$$\underset{\Sigma }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$$

实际计算

\iint \limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint \limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{ 1+z_{x}^{2}(x,y)+z_{y}^{2}(x,y) }\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{align}$$ 实际计算时化为[[二重积分\|二重积分]]进行计算 1. 换域：朝自变量所在趋于进行投影（积分区域变为 $D_{xy}$） 2. 换元：$z \to z(x,y)$ 3. 换[[空间曲面#三、曲面的面积\|面积元素]]：$dS \to \sqrt{ 1+z_{x}^{2}(x,y)+z_{y}^{2}(x,y) }\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 注意投影选择不同，积分元素和积分变量的代换也不同 $D_{xy}\quad z(x,y)\quad \sqrt{ 1+(\dfrac{\partial z}{\partial x})^{2}+(\dfrac{\partial z}{\partial y})^{2} }\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ $D_{yz}\quad x(y,z)\quad \sqrt{ 1+(\dfrac{\partial x}{\partial y})^{2}+(\dfrac{\partial x}{\partial z})^{2} }\;\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ $D_{xz}\quad y(x,z)\quad \sqrt{ 1+(\dfrac{\partial y}{\partial x})^{2}+(\dfrac{\partial y}{\partial z})^{2} }\;\mathrm{d}x\mathrm{d}z$ ### 二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） >流向曲面一侧的流量，**向量场的通量积分** #### 基本定义 曲面的方向：对于双侧曲面，可以通过曲面上的法向量的指向定义曲面的侧，指定方向的曲面称为有向曲面。对于有向曲面，取一小块 $\Delta S$ ，将其投影到 $xOy$ 平面上得到 $(\Delta \sigma)_{xy}$ 有： $$(\Delta S)_{xy}=\begin{cases} \;\;\;(\Delta \sigma)_{xy}\quad & \cos\gamma >0 \\ -(\Delta \sigma)_{xy}\quad & \cos\gamma <0 \\ \;\;\;\;\;\;0 & \cos\gamma \equiv 0 \end{cases}$$ $$\begin{align} \iint \limits_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\lim\limits_{ \lambda \to 0 } \sum\limits_{i=1}^{n}R(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta (S_{i})_{xy} \\ \iint \limits_{\Sigma}P(x,y,z)dydz=\lim\limits_{ \lambda \to 0 } \sum\limits_{i=1}^{n}P(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta (S_{i})_{yz} \\ \iint \limits_{\Sigma}Q(x,y,z)dxdz=\lim\limits_{ \lambda \to 0 } \sum\limits_{i=1}^{n}Q(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta (S_{i})_{xz} \end{align}$$ $$\begin{align} \varPhi =\iint \limits_{\Sigma} \mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\iint \limits_{\Sigma} P(x,y,z)dydz+\iint \limits_{\Sigma}Q(x,y,z)dxdz+\iint \limits_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy \end{align}$$ 流量向量函数： $\mathbf{A}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ 有向曲面 $\Sigma$ 的单位法向量： $\mathbf{n}=(\cos \alpha,\cos \beta,\cos\gamma)$ 有向曲面元：即为流体流向有向曲面同一侧的流量 $$\begin{cases} \mathrm{d}S \cdot \cos \alpha =\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}S\cdot \cos \beta =\mathrm{d}x\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}S\cdot \cos\gamma=\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{cases}\; \Rightarrow\; \mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{n}\mathrm{d}S=(dydz,dzdx,dxdy)$$ #### 实际计算 实际计算时化为[[二重积分\|二重积分]]进行计算 1. 投影：寻找投影区域进行投影, 如 $xOy$ 2. 代换：确定投影的积分区域 $\Sigma \to D_{xy}$ 3. 确定方向：根据曲面的方向确定积分的正负号 - 注意有向曲面元的方向： $$\begin{align} \iint \limits_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy & = \iint \limits_{D_{xy}} R\left[x,y,z(x,y)\right] \mathrm{d}x\mathrm{d}y & \quad \cos \gamma >0 \\ \iint \limits_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy & = -\iint \limits_{D_{xy}} R\left[x,y,z(x,y)\right] \mathrm{d}x\mathrm{d}y & \quad \cos \gamma <0 \end{align}$$ - 投影区域可以转换： $$\begin{align} \dfrac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\cos \gamma}=\dfrac{\mathrm{d}x\mathrm{d}z}{\cos \beta}=\dfrac{\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{\cos \alpha}=\mathrm{d}S \end{align}$$ $$\begin{align} \iint \limits_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy= \iint \limits_{D_{yz}}R(x(y,z),y,z) \dfrac{\cos\gamma}{\cos \alpha} \mathrm{d}y\mathrm{d}z \end{align}$$ ### 三、两类曲面积分的关系 $$\begin{align} \iint \limits_{\Sigma} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint \limits_{\Sigma}(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S \end{align}$$