柯西积分定理

Cauchy-Goursat Fundamental Theorem 柯西—古萨基本定理

柯西积分定理实际给出积分与路径无关的充分条件

一、单连通区域

设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，闭区域 $\overline{D}=D+C$ 上连续，则在 $D$ 内沿任意一条简单闭曲线 $C$ 的积分为零：

\int _{C}f(z)\, dz=0 \end{align}$$ ### 二、柯西积分定理的证明 [[复积分\|复积分]]公式：

\int _{C} f(z), dz=\int _{C}u(x,y), dx -v(x,y)dy+i \int _{C}v(x,y) , dx +u(x,y), dy

$$闭曲线运用[[格林公式\Vert 格林公式]]:$$

\iint \limits_{D}(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_{L}Pdx+Qdy

在区域内解析满足 [[解析\|C-R方程]]： $$\begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial x}&=\;\;\dfrac{\partial v}{\partial y} \quad \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{align}$$ 综上有柯西积分定理： $$\begin{align} \int _{C}f(z)\, dz&=\int _{C}udx-vdy+i \int _{C}vd x+udy \\ &=-\iint \limits_{G}(\dfrac{\partial v}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y} )dxdy+i \iint \limits_{G}(\dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial v}{\partial y} )dxdy \\ &=0 \end{align}$$ ### 实际应用 多连通区域的推广：[[复合闭路定理\|复合闭路定理]] 导出[[变上限积分定理\|变上限积分定理]] [[格林公式\|格林公式]]