欧拉公式

Euler’s formula

$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$

由此可以得到著名的“上帝公式”：

$$e^{i\pi }+1=0$$

三角函数的指数表达： $cos(\theta )=\frac{1}{2}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })$ $sin(\theta )=\frac{1}{2i}(e^{i\theta }-e^{-i\theta })$

证明

根据泰勒级数有： $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots$ $cos(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\cdots$ $sin(x)=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5-\frac{1}{7!}{x}^7+\cdots$

$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots +\frac{z^n}{n!}\cdots$ $e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-i\frac{x^7}{7!}+\cdots$ 实部： $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$ 即 $cos(x)$ 虚部： $ix-i\frac{x^3}{3!}+i\frac{x^5}{5!}-i\frac{x^7}{7!}+\cdots$ 即 $isin(x)$