Poisson Distribution 为常数
期望： 方差：
由泰勒级数有：
& e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\cdots+\frac{1}{k!}x^{k} +\cdots+\\ & \because\lim\limits_{ n \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{\lambda^{n}}{n!}=e^{\lambda} \\ & \therefore \lim\limits_{ k \to \infty } \sum\limits_{k=0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{k}}{k!}e^{ -\lambda }=1 \\ \end{align}$$ ### 二项分布的泊松近似 一般认为 $n\geq 20\quad p\leq 0.05$ 时 可以用**泊松分布**近似[[二项分布\|二项分布]] 取 $\lambda=np$ $n$ 为二项分布总的试验次数，$p$ 为试验发生的概率 #### 应用 $$\begin{align} P(X=K)&=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &\approx \dfrac{(np)^{k}}{k!}e^{ -np } \\ \end{align}$$ #### 推导 $n \to \infty$ 时，$np_{n}=\lambda$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to +\infty }C_{n}^{k}p _{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}= \dfrac{\lambda^{k}}{k!}e^{ -\lambda } \end{align}$$ 当 $n \to \infty$ 时，$p_{k}=p= \dfrac{\lambda}{n}$ $$\begin{align} & \lim\limits_{ n \to +\infty }C_{n}^{k}p _{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \left( \frac{\lambda}{n} \right)^{k}\left( 1- \frac{\lambda}{n} \right)^{n-k} \\ &= \frac{\lambda^{k}}{k!}\left( 1- \frac{\lambda}{n} \right)^{n} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{\left( 1-\dfrac{\lambda}{n} \right)^{k}n^{k}} \\ &= \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} \end{align}$$ [[极限\|极限]] ### 例题 实际应用中，一般使用泊松分布来近似二项分布 有同类型设备 300 台，各台设备工作情况相互独立，发生故障的概率为 0.01 一个工人维修一台设备 至少要配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能维修的概率小于 0.01 设配备 $N$ 个工人 设同一时刻有 $X$ 台设备发生故障，$X\sim B(300,0.01)$ 题目也即求： $P\left\{X>N \right\}<0.01$ $$\begin{align} P\left\{X>N \right\}&=1- P\left\{X\leq N \right\} \\ &=1-\sum\limits_{k=0}^{N}C_{300}^{k} (0.01)^{k}(0.99)^{300-k} \\ & \approx 1- \sum\limits_{k=0}^{N} \dfrac{3^{k}}{k!} e^{ -3 }=\sum\limits_{k=N+1}^{\infty} \dfrac{3^{k}}{k!} e^{ -3 }<0.01 \end{align}$$ 查表得 $k$ 取 8，至少要 8 个维修工人