泰勒公式

Taylor’s Formula Taylor 中值定理

使用更高次的多项式函数近似表达较为复杂的函数 可以利用高阶导数和洛必达法则证明

一、基本内容

f (x)=P_{n}(x)+R_{n}(x) \end{align}$$ $$\begin{align} P_{n}(x)=f (x_{0})+f' (x_{0})(x-x_{0})+\dfrac{f'' (x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} (x-x_{0})^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k} \end{align}$$ - **泰勒多项式** $P_{n}(x)$：在 $x_{0}$ 处展开（如果 $x_{0}=0$ 则称为 Maclaurin 公式） - **余项** $R_{n}(x)$：使用多项式近似的误差，**随使用的场景不同，余项有多种形式**。（如果使用无限多项的幂函数（幂级数）来表达函数，则不存在误差，得到精确形式：[[泰勒级数\|泰勒级数]]） #### 1. Peano 余项 如果函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处具有 $n$ 阶导数，则存在 $x_{0}$ 的一个邻域，对该邻域内的任一 $x$，泰勒公式的余项为 $(x-x_{0})^{n}$ 的高阶[[无穷\|无穷小]]： $$\begin{align} R_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) \end{align}$$ #### 2. Lagrange 余项 如果函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个邻域 $U(x_{0})$ 内具有 $n+1$ 阶导数，对任一 $x \in U(x_{0})$，泰勒公式的余项可表达为： $$\begin{align} R_{n}(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} \end{align}$$ $\xi$ 为 $x_{0}$ 与 $x$ 之间的某个值。特别的，当 $n=0$ 时，为[[微分中值定理\|拉格朗日中值定理]]。 ### 二、实际应用 使用带 Peano 余项的泰勒公式可以进行**极限的近似计算** 以下常见函数的麦克劳林展开式： $$\begin{align} e^{ x }=1+x+ \dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots+ \dfrac{x^{n}}{n!}+ R_{n}(x) \end{align}$$ $$\begin{align} \sin x=x- \dfrac{x^{3}}{3!}+ \dfrac{x^{5}}{5!}-\cdots +(-1)^{m-1} \dfrac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} +R_{2m}(x) \end{align}$$ $$\begin{align} \cos x=1- \dfrac{1}{2!}x^{2}+ \dfrac{1}{4!}x^{4}- \cdots +(-1)^{m} \dfrac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x) \end{align}$$