Taylor Series Complex Part
一、基本概念
在 处的 泰勒展开式：
f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(z_{0})}{n!} (z-z_{0})^{n} \end{align}$$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内[[解析\|解析]]，$z_{0}$ 为 $D$ 内的一点，$d$ 为 $z_{0}$ 到 $D$ 的边界上各点的最短距离，当 $\left\lvert z-z_{0} \right\rvert<d$ 时, 泰勒展开式成立 >[!important] 注意 > >- 如果 $f(z)$ 在 $D$ 内有奇点，则 $d$ 等于 $z_{0}$ 到最近一个奇点 $\alpha$ 之间的距离 > $d=R=\left\lvert \alpha-z_{0} \right\rvert$ > - 由于 $f(z)$ 为解析函数，则无限次导数都连续（解析函数的导数仍然为解析函数） > - 当你确定一个函数在所给区域内解析时，你就可以进行泰勒展开 > 而且收敛半径直接从展开的式子中判断！不用考虑太多 ### 二、泰勒级数展开 #### 直接展开 根据泰勒展开定理计算系数，在 $z_{0}$ 处展开： $$\begin{align} f(z)&=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}(z-z_{0})^{n} \\ c_{n}&=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(z_{0}) \end{align}$$ #### 间接展开 借助一些已知函数的展开式，结合解析函数、幂级数运算等性质，代换等数学技巧，求函数的泰勒展开式 **常见函数的泰勒展开式**： $$\begin{align} e^{ z }&=1+z+\dfrac{z^{2}}{2!}+\cdots+\dfrac{z^{n}}{n!}+\cdots =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{z^{n}}{n!}\quad \left\lvert z \right\rvert <\infty \\ \sin z&=\dfrac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{ -iz }\right) \\ &=z- \dfrac{z^{3}}{3!}+\dfrac{z^{5}}{5!}-\cdots+(-1)^{n} \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad \left\lvert z \right\rvert<\infty \\ \cos z &=\dfrac{1}{2}(e^{ iz }+e^{ -iz })\\ &=1- \dfrac{z^{2}}{2!}+\dfrac{z^{4}}{4!}-\cdots+(-1)^{n} \dfrac{z^{2n}}{(2n!)}+\cdots \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \dfrac{z^{2n}}{(2n)!}\quad \left\lvert z \right\rvert<\infty \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{1}{1-z}&=1+z+z^{2}+\cdots+z^{n}+\cdots =\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^{n} \quad \left\lvert z \right\rvert<1 \\ \dfrac{1}{1+z}&=\dfrac{1}{1-(-z)} \\ &=1-z+z^{2}-\cdots+(-1)^{n}z^{n}+\cdots \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-z)^{n}\quad \left\lvert z \right\rvert<1 \\ \ln(1+z)&=\int _{0}^{z} \dfrac{1}{1+z} \, dz \\ &=z-\dfrac{z^{2}}{2}+\dfrac{z^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n} \dfrac{z^{n+1}}{(n+1)!}+\cdots \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \dfrac{z^{n+1}}{n+1}\quad \left\lvert z \right\rvert<1 \end{align}$$ $\left\lvert z-z_{0} \right\rvert$ 的模与其他的模比较 >[!warning] 注意！ > 一定要注意是**分子分母上下同除**来构造 **不要只除以分母而漏掉系数！！！** #### 例题 $f(z)e^{ z }\cos z$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开式 $$\begin{align} e^{ z }\cos z&=e^{ z }\cdot \dfrac{1}{2}(e^{ iz }+e^{ -iz }) \\ &=\dfrac{1}{2} [e^{ (1+i)z }+e^{ (1-i)z }] \\ &=\dfrac{1}{2}\left[\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(1+i)^{n}z^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(1-i)^{n}z^{n}}{n!}\right] \\ &=\dfrac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} [(1+i)^{n}+(1-i)^{n}]z^{n} \\ &=\dfrac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} [(\sqrt{ 2 }e^{i \cdot 4/\pi})^{n}+(\sqrt{ 2 }e^{ i\cdot(-4/\pi) })^{n}]z^{n} \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{\sqrt{ 2 }^{n}}{n!}z^{n}\cos \dfrac{n\pi}{4}\quad \left\lvert z \right\rvert<\infty \end{align}$$ ### 三、简要证明 由[[柯西积分公式\|柯西积分公式]]有： $$\begin{align} f(z)= \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{K} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta \end{align}$$ - 积分变量 $\zeta$ 在圆周 K 上 - 点 $z$ 在 K 的内部 $| \dfrac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}} |<1$, 则 $$\begin{align} \dfrac{1}{1-z} &=1+z+z^{2}+\cdots+z^{n}+\cdots=\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^{n}\\ \dfrac{1}{\zeta-z}&=\dfrac{1}{\zeta-z_{0}} \dfrac{1}{1- \dfrac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}} \\ &=\dfrac{1}{\zeta-z_{0}}\left[1+\dfrac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}+\left(\dfrac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}\right)^{2}+\cdots+\left(\dfrac{z-z_{0}}{\zeta-z_{0}}\right)^{n}+\cdots\right] \\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(z-z_{0})^{n}}{(\zeta-z_{0})^{n+1}} \\ \end{align}$$ 由[[解析函数的高阶导数\|解析函数的高阶导数]]得： $$\begin{align} f(z)&=\sum\limits_{n=0}^{N-1}\left[\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{K} \dfrac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}\right](z-z_{0})^{n}+\sum\limits_{n=N}^{\infty}\left[\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{K} \dfrac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}\right](z-z_{0})^{n} \\ &=\sum\limits_{n=0}^{N-1} \dfrac{f^{(n)}(z_{0})}{n!}(z-z_{0})^{n}+R_{N}(z) \end{align}$$