留数计算定积分
将定积分化为复变函数沿某条封闭曲线的积分, 实现被积函数和被积函数的转化
一、类型一
\int _{0}^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)\, d\theta
\end{align}$$
1. **被积函数**的转化：
$$\begin{align}
z=e^{ i\theta }\;\;\; {\color{red}\Rightarrow} \; \begin{cases}
dz=ie^{ i\theta }d\theta \to d\theta=\dfrac{dz}{iz} \\ \\
\sin\theta=\dfrac{1}{2i}(e^{ i\theta }-e^{ -i\theta })=\dfrac{z^{2}-1}{2iz} \\ \\
\cos\theta=\dfrac{1}{2}(e^{ i\theta }+e^{ -i\theta })=\dfrac{z^{2}+1}{2z}
\end{cases}
\end{align}$$
2. **积分区域**的转化：转为 $|z|=1$ (单位圆周)正方向绕行一周的积分
$$\begin{align}
\int _{0}^{2\pi} R(\cos\theta,\sin\theta)\, d\theta &= \oint_{|z|=1} R\left[\dfrac{z^{2}+1}{2z},\dfrac{z^{2}-1}{2iz}\right] \dfrac{dz}{iz} \\
&=\oint_{|z|=1}f(z)dz \\
&=2\pi i \sum\limits_{k=1}^{n} Res[f(z),z_{k}]
\end{align}$$
$f(z)$ 为 $z$ 的有理函数，且在单位圆周上分母不为 0，$z_{k}$ 为包围在单位圆周内的全部的[[孤立奇点\|孤立奇点]]
### 二、类型二
$$\begin{align}
\int _{-\infty}^{+\infty} R(x)\, dx
\end{align}$$
有理函数 $R(z)$ 的分母**至少比分子高两次**，并且分母在**实轴上无孤立奇点**
1. **被积函数**的转化：$R(z)=R(x)$ (实轴上)
2. **积分区域**的转化：取一条连接区间两端的按段光滑的曲线，与区间 $[-R,R]$ 构成一条封闭曲线，$R\to \infty$ 使得 $R(z)$ 所有的**在上平面内的极点** $z_{k}$ 都包含在积分路线内
$$\begin{align}
\int _{-R}^{R} R (x)\, dx+\int _{C_{R}}R (z)\, dz &=2\pi i \sum Res[R (z), z_{k}]
\end{align}$$
$$\begin{align}
& |R(z)|< \dfrac{2}{|z|^{2}}\quad\quad |\int _{C_{R}}R(z)\, dz|\leq \dfrac{2\pi}{R} \\
& R\to \infty : \\
& \int _{C_{R}}R(z)\, dz \to 0\quad \int _{-R}^{R} R(x)\, dx\to \int _{-\infty}^{+\infty} R(x)\, dx
\end{align}$$
$$\begin{align}
\int _{-\infty}^{+\infty} R(x)\, dx =2\pi i \sum\limits_{k=1}^{n} Res[R(z),z_{k}]
\end{align}$$
>[!important] 注意
>
>注意积分区域只选择了上半圆周（取下半圆周同理）
> **只考虑**在**上半圆周**的奇点，也同样意味着**不能够**通过**计算无穷远点**处的留数来简化积分的计算
如果在实轴上有一级极点
$$\begin{align}
\int _{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx =2\pi i\left\{\sum\limits_{k=1}^{n}Res[f(z),z_{k}] +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}Res[f(z),x_{k}]\right\}
\end{align}$$
### 三、类型三
$$\begin{align}
\int _{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{ aix }\, dx \quad (a>0)
\end{align}$$
有理函数 $R(z)$ 的分母**至少比分子高一次**，并且在**实轴上无孤立奇点**
积分区域的转化：取一条连接区间两端的按段光滑的曲线，与区间 $[-R,R]$ 构成一条封闭曲线
$R\to \infty$ 使得 $R(z)$ 所有的在上平面内的极点 $z_{k}$ 都包含在积分路线内：
$$\begin{align}
\int _{-\infty}^{+\infty} R(x)e^{ aix }\, dx=2\pi i \sum\limits_{k=1}^{n} Res[R(z)e^{ aiz },z_{k}]
\end{align}$$
>[!important] 注意！
>
> $R(x)e^{aix}$ 的形式, 千万不要忘掉**指数上**为==虚数==
> 又由于 $e^{ aix }=\cos(ax)+i\sin(ax)$ 可以用[[欧拉公式\|欧拉公式]]使用三角函数表示
> 所以如果被积函数形如：
> $R(x)\cos ax=Re\left\{R(x)e^{ aix } \right\}$
> $R(x)\sin ax=Im\left\{R(x)e^{ aix } \right\}$
> 也可进行积分，只要在积分之后取 **实部**和 **虚部**即可
#### 例题
计算积分：
$$\begin{align}
\int _{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin mx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\, dx \quad (m>0,a>0)
\end{align}$$
因为被积函数为偶函数，转换积分区域使得定理条件适用
$$\begin{align}
e^{ imx }=\cos mx+i\sin mx\quad \Rightarrow \quad\sin mx=Im \{e^{ imx }\}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\int _{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin mx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\, dx&= \dfrac{1}{2} \int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x\sin mx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\, dx \\
&=\dfrac{1}{2}Im \left[\int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}e^{ imx }\, dx \right]
\end{align}$$
所以 $f(z)=\dfrac{z}{(z^{2}+a^{2})^{2}}e^{ imz }$
在上半平面有二级极点 $z=ai$
$$\begin{align}
Res(f(z),ai)=\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} z} \left[ \dfrac{z}{(z+ai)^{2} }e^{ imz }\right] _{z=ai}
\end{align}$$
$$\begin{align}
\int _{-\infty}^{+\infty} \dfrac{x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}e^{ imx }\, dx&= 2\pi iRes[f(z),ai] \\
\int _{0}^{+\infty} \dfrac{x\sin mx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\, dx&= \dfrac{1}{2} Im [2\pi iRes[f(z),ai]]
\end{align}$$
