矩阵

Matrix
矩阵是 $m$ 行 $n$ 列的数表/矩形数组，在某些编程语言中称为 Array 。用于表示和处理线性变换、解线性方程组、计算向量空间中的各种运算。

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12 } & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22 } & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{align}$$ ### 一、基本运算 对矩阵进行运算实际上是**对多维数据进行处理** #### 加法 两个同型矩阵才能进行加法运算，定义为对应的元素相加 $$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$$ #### 数乘 数 $\lambda$ 与矩阵相乘，相当于矩阵的每一个元素与数 $\lambda$ 相乘 #### 乘法 矩阵乘法实现维数的转换，也即矩阵作用相当于[[线性变换\|线性变换]] $$\begin{align} C_{(mn)}=A_{(m\times j)}B_{(j\times n)} \end{align}$$ 矩阵乘法**不满足交换律**，左侧矩阵的列数与右侧矩阵行数相等时，才能相乘 #### 转置 定义为 $(A^{T})_{ij}=A_{ji}$

\begin{gathered} (A^{T})^{t}=A\quad \quad (AB)^{T}=B^{T}A^{T} \end{gathered}

#### 逆 参考：[[逆矩阵\|逆矩阵]] >[!important] 注意 > >有的编程语言中存在 [[Broadcasting\|Broadcasting]] 机制，可以自动扩展运算不同维度的数组 (矩阵) 矩阵可交换乘法 1. **单位矩阵**：任何矩阵与单位矩阵相乘，结果仍然是原矩阵。单位矩阵可以看作是乘法的“交换”元素，因为对于任何矩阵 A，都有 AI=IA=AI=IA=A。 2. **相同矩阵**：如果两个矩阵 A 和 B 是相同的，那么 AB=BA。 3. **对角矩阵**：如果两个矩阵都是对角矩阵，并且它们的乘积也是对角矩阵，那么这两个对角矩阵的乘法是可交换的。 4. **零矩阵**：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵，因此零矩阵在乘法下是“交换”的。 5. **对称矩阵和斜对称矩阵**：如果两个矩阵 AA 和 BB 都是对称矩阵或都是斜对称矩阵，并且它们的乘积仍然是对称矩阵或斜对称矩阵，那么在这种情况下，AB 和 BA 是相等的。 ### 二、特殊的矩阵 若数值为 0 的元素数目远远多于非 0 元素的数目，并且非 0 元素分布没有规律时，则称该矩阵为[[稀疏矩阵\|稀疏矩阵]]；与之相反，若非 0 元素数目占大多数时，则称该矩阵为稠密矩阵。 #### 单位矩阵 $$\begin{align} E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 对角矩阵 $$\begin{align} \varLambda=diag({\lambda}_{1} , {\lambda}_{2} , \cdots , {\lambda}_{n}) =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 友矩阵 主对角线上方全为 1，最后一行的元素为任意值 #### Jordan 标准型 分块对角矩阵，每个 Jordan 块的主对角线为特征值，特征值右上一条对角线全为 1 以四阶举例： $$\begin{align} J=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3}& 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{4} \end{pmatrix} \end{align}$$ ### 矩阵多项式 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 $m$ 次[[多项式\|多项式]]： $$\begin{align} \varphi(A)= {a}_{1} E+ {a}_{2} A+ \cdots + {a}_{m}A^{m} \end{align}$$ 矩阵的幂可交换，多项式的乘积也可交换 $\varphi(A)f(A)=f(A)\varphi(A)$ 所以关于 $A$ 的多项式可以同实数的多项式一样相乘或分解因式 矩阵的迹 $\mathrm{Tr}$ --- ## AI 结构化补充（2026-05-02） **Matrix** 矩阵首先可以看成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩形数组，但在线性代数中更重要的是：矩阵表示一种把输入向量送到输出向量的线性动作。若

A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix}\in\mathbb F^{m\times n},

则 $A$ 有 $m$ 行、$n$ 列；条目 $a_{ij}$ 的第一个下标 $i$ 表示行，第二个下标 $j$ 表示列。矩阵的形状决定它能作用在哪类向量上：$m\times n$ 矩阵乘 $n$ 维列向量，输出 $m$ 维列向量。 ### 矩阵作为列组合动作 把 $A$ 的列记为

A=[a_1\ a_2\ \cdots\ a_n],

其中每个 $a_j\in\mathbb F^m$。对输入

x=\begin{bmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n\end{bmatrix},

$$矩阵作用定义为$$

Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n.

因此 $x$ 不是单纯被“套进公式”的数字，而是给 $A$ 的各列指定权重；$Ax$ 是这些列向量的[[线性组合\|线性组合]]。从这个角度看，所有可能的输出 $Ax$ 构成 $A$ 的[[列图像\|列图像]]。 例如

\begin{bmatrix} 1&2\ 3&4\ 5&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix}

x_1\begin{bmatrix}1\3\5\end{bmatrix} +x_2\begin{bmatrix}2\4\6\end{bmatrix}.

这说明 $3\times2$ 矩阵把二维输入系数送到三维输出向量。 ### 同一个 Ax 的行点积读法 列组合读法解释输出从哪里来；行读法解释每个分量怎样算出来。若 $A$ 的第 $i$ 行为 $r_i^T$，则

Ax= \begin{bmatrix} r_1^Tx\ r_2^Tx\ \vdots\ r_m^Tx \end{bmatrix}.

也就是说，$Ax$ 的第 $i$ 个分量是第 $i$ 行与 $x$ 的[[点积\|点积]]。列组合给出几何图像，行点积给出方程约束；二者是同一个矩阵乘向量动作的两面，并连接到[[行图像\|行图像]]。 ### 从 Ax 到 Ax=b 当 $x$ 已知时，问题是正向计算：

b=Ax.

当 $b$ 已知时，问题变成逆向寻找输入：

Ax=b.

这就是[[线性方程组\|线性方程组]]的[[矩阵形式\|矩阵形式]]。列组合图像问：$b$ 是否落在 $A$ 的列组合能够到达的范围内？行图像问：由各行给出的方程约束是否有公共交点？ 若 $A$ 是方阵并且可逆，则每个 $b$ 都有唯一输入

x=A

其中 $A^{-1}$ 是撤销 $A$ 动作的[[逆矩阵\|逆矩阵]]。这样的 $A$ 是[[可逆矩阵\|可逆矩阵]]。若 $A$ 不可逆，则它是[[奇异矩阵\|奇异矩阵]]；此时 $Ax=b$ 可能无解，也可能有无穷多解，取决于 $b$ 是否在列图像中以及零空间是否含有非零向量。 ### 差分矩阵是动作的例子 矩阵可以把“求差”“累加”“循环求差”等操作写成统一的乘法。第一章常用的后向[[差分矩阵\|差分矩阵]]

A=\begin{bmatrix} 1&0&0\ -1&1&0\ 0&-1&1 \end{bmatrix}

把输入 $x=(x_1,x_2,x_3)^T$ 送到

Ax=\begin{bmatrix} x_1\ x_2-x_1\ x_3-x_2 \end{bmatrix}.

例如 $x=(1,4,9)^T$ 时，$Ax=(1,3,5)^T$。这个矩阵的逆动作是累加：从差分 $b$ 恢复 $x$。 循环差分矩阵则把首尾也相减：

C=\begin{bmatrix} 1&0&-1\ -1&1&0\ 0&-1&1 \end{bmatrix}.

它会把所有常数向量送到零向量，因此不能被唯一撤销；这正是“矩阵作为动作”比“矩阵作为数表”更有解释力的地方。 ### 乘法与运算边界 矩阵乘法不是普通数乘的直接放大版。若 $A$ 为 $m\times n$，$B$ 为 $n\times p$，则 $AB$ 有定义且形状为 $m\times p$；如果内侧维度不匹配，乘法没有意义。一般情况下

AB\ne BA,

甚至 $BA$ 可能根本没有定义。单位矩阵 $I$ 满足 $AI=A$ 和 $IA=A$，同阶标量矩阵 $cI$ 与所有同阶矩阵交换；除此之外，交换性必须由具体结构证明，不能作为默认规则使用。详细运算规则见[[矩阵乘法\|矩阵乘法]]与[[矩阵运算\|矩阵运算]]。 ### 常见特殊矩阵 - 单位矩阵 $I$ 保持输入不变，是乘法的恒等动作。 - 对角矩阵按坐标轴分别缩放。 - 三角矩阵常对应可按顺序求解的方程组。 - 稀疏矩阵只有少量非零条目，适合用结构化算法计算。 - 矩阵多项式 $\varphi(A)=c_0I+c_1A+\cdots+c_kA^k$ 只涉及同一个方阵 $A$ 的幂，因此这些幂彼此可交换；这不代表任意两个矩阵可交换。