模拟式PID控制器

理论基础：PID 实际实现：基型控制器#二、PID 电路构成

基本概述

偏差 = 测量值 - 给定值 $\epsilon =x_i-x_S$ ，$\epsilon >0$ 为正偏差，$\epsilon <0$ 为负偏差

输出信号变化量 $\Delta y$ ，$\epsilon >0\to \Delta y>0$ 为正作用控制器，$\epsilon <0\to \Delta y>0$ 为反作用控制器

W(s)=K_{p}(1+ \dfrac{1}{T_{i}s}+ T_{d}s) \end{align}$$ $$\begin{align} W(s)= K_{P}F \dfrac{1+ \dfrac{1}{FT_{I}s}+\dfrac{T_{D}}{F}s}{1+ \dfrac{1}{K_{I}T_{I}s}+ \dfrac{T_{D}}{K_{D}s}} \end{align}$$ 控制器之间的干扰系数： $F= 1+\alpha\dfrac{ T_{D}}{T_{I}}$ ### 一、P 运算规律 $$\begin{align} \Delta y= K_{P} \varepsilon\; \Rightarrow \; W(s)=K_{P} \end{align}$$ ==比例度== $\delta$ 表示比例作用的强弱：比例度越小，比例作用越强。 $$\begin{align} \delta = \dfrac{\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{max}-\varepsilon_{min}}}{\dfrac{\Delta y}{y_{max}-y_{min}}}\times 100 \% = \dfrac{1}{K_{P}} \times 100 \% \end{align}$$ 单独的比例作用一定会存在余差，比例作用 $K_{P}$ 越大，**余差越小**（静态）。（**但是比例作用增大，稳定性变差**，容易产生振荡）动态响应加快（动态） ### 二、PI 运算规律 积分作用可以**消除余差**：只要偏差存在，积分作用输出就会随时间不断变化直到偏差消除。（静态） 但是积分输出是随时间累计改变的，控制动作缓慢，可能造成控制不及时，**使得稳定裕度下降**。（动态） #### 2.1 理想 PI 控制器 $$\begin{align} \Delta y & =K_{P}\left( \varepsilon + \dfrac{1}{T_{I}}\int_{0}^{t} \varepsilon \, dt \right) \quad \; W(s)=K_{P}\left(1+ \dfrac{1}{T_{I}s}\right) \end{align}$$ ==积分时间== $T_{I}$ : 在阶跃信号作用下，积分作用的输出值变化等于比例作用的输出值所经历的时间。 **积分时间越短，积分速度越快、积分作用越强**。 #### 2.2 实际 PI 控制器 $$\begin{align} W(s)= K_{P} \dfrac{1+ \dfrac{1}{T_{I}s}}{1+ \dfrac{1}{K_{I}T_{I}s}}\quad \Delta y=K_{P}\varepsilon \left[1+( K_{I}-1)(1-e^{ -\frac{t}{K_{I}T_{I}} } )\right] \end{align}$$ 积分增益 $K_{I}= \dfrac{\Delta y(\infty)}{\Delta y(0)}$ 表示阶跃信号作用下，PI 控制器输出变化的最终值与比例输出值之比 - ==控制点偏差==：$\varepsilon_{max}= \dfrac{y_{max}-y_{min}}{K_{P}K_{I}}$ PI 控制器不可能完全消除余差 - ==控制精度==: $\Delta= \dfrac{\varepsilon_{max}}{x_{max}-x_{min}}\times 100\%= \dfrac{1}{K_PK_{I}}\times 100\%$ 控制点最大偏差的相对变化值 >控制精度**表征消除余差的能力**，$K_{I}$ 或 $K_{I}K_{P}$ 越大，控制精度越高，消除余差的能力越大。 >不能完全消除余差：因为积分增益为有限值。 ### 三、PD 运算规律 微分作用按偏差变化速度进行控制，只要有变化趋势，就有控制作用输出。 超前控制，**可以改善控制过程的动态特性**。噪声过大的系统不宜单独使用。 **主要是加快系统响应、改善系统稳定性，对噪声敏感，一般不用** #### 3.1 理想 PD 控制器 $$\begin{align} \Delta y=K_{P}(\varepsilon+T_{D} \dfrac{\mathrm{d} \varepsilon}{\mathrm{d} t} )\quad \;W(s)=K_{P}(1+T_{D}s) \end{align}$$ ==微分时间== $T_{D}$： 达到相同的输出值 $\Delta y$ 时，微分作用比比例作用**提前的时间**。 **微分时间越长，微分作用越强**。（过大可能引起高频振荡） #### 3.2 实际 PD 控制器 $$\begin{align} W(s)= K_{P}(s) \dfrac{1+T_{D}s}{1+ \dfrac{T_{D}}{K_{D}}s}\quad \Delta y=K_{P}\varepsilon \left[1+(K_{D}-1)e^{ -\frac{K_{D}}{T_{D}}t }\right] \end{align}$$ ==微分增益==：$K_{D}=\dfrac{\Delta y(0)}{\Delta y(\infty)}$ 阶跃信号作用下，PD 控制器输出变化的初始值与最终值的比。 微分增益越大，微分作用越理想。 （阶跃信号作用下，实际 PD 控制器的输出从最大值下降到微分输出幅度的 36.8%所经历的时间为微分时间常数 $\dfrac{T_{D}}{K_{D}}$，再乘以微分增益，就得到微分时间） ### 四、PID 运算规律  #### PID 控制器的构成 1. **放大器和 PID 反馈电路**：运算电路简单，相互干扰系数大 2. **PD 和 PI 电路串联**：相互干扰系数较小，各级串联使得累计误差较大，精度要求较高 3. **P、I、D 电路并联**：避免级间误差累计增大，实际参数发生改变 4. **PI 与 D 并联后再与 P 串联**：避免级间误差累计增大，不存在变量相互影响 注意明确调节 PID参数时，参数的实际意义：比例/积分/微分增益还是比例度、积分时间、微分时间 [[数字PID 参数整定\|数字PID 参数整定]]