经典环节的传递函数

复杂传递函数由基本环节的传递函数构成，其行为也由由基本环节的行为决定

graph LR
经典环节 ----> 比例环节 & 积分环节 & 1[微分环节] & 二阶振荡环节 & 延迟环节

基本环节

1. 比例/放大环节

G(s)=K \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad G(j\omega)=K+j0 \quad \begin{cases} & |G(j\omega)|=K\\ & L(\omega )=20\lg K \\ & \phi(\omega )=0^{\circ} \end{cases} \end{align}$$ #### 2. 纯积分环节 $$\begin{align} G(s)=\dfrac{1}{s} \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad G(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega}=0-j \dfrac{1}{\omega} \quad \begin{cases} &|G(j\omega )|=\dfrac{1}{\omega } \\ & L(\omega)=-20\lg \omega \\ & \phi(\omega )=-90^{\circ} \end{cases} \end{align}$$ #### 3. 纯微分环节 $$\begin{align} G(s)=s\quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad G(j\omega)=j\omega=0+j\omega \end{align}$$ $$\begin{align} & |G_{j\omega }|=\omega \\ & L(\omega )=20\lg \omega \\ & \phi(\omega )=90^{\circ} \end{align}$$ #### 4. 一阶惯性环节 $$\begin{align} G(s)=\dfrac{1}{T s+1} \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad G(j\omega)=\dfrac{1}{1+j\omega T}=\dfrac{1}{1+T^{2}\omega^{2}}-j \dfrac{\omega T}{1+T^{2}\omega^{2}} \end{align}$$ $$\begin{align} |G(j\omega )|&= \dfrac{1}{\sqrt{ 1+\omega^{2}T^{2} }} \\ L(\omega )&= 20\lg |G(j\omega )| \\ & =-10\lg(1+\omega^{2}T^{2}) \\ & \approx 0 (\omega \ll \dfrac{1}{T} 低频渐近线) \\ &\approx-20\lg \omega +20\lg \dfrac{1}{T}\quad (\omega \gg \dfrac{1}{T} 高频特性) \\ \phi(\omega )&=-\arctan \omega T\quad (0^{\circ},-90^{\circ}) \end{align}$$ **转折频率/交接频率**： $\omega=\dfrac{1}{T}$ - 对数幅频特性：曲线斜率为 $-20dB/dec$ 渐近线 - 对数相频特性：对应 $-45^{\circ}$ 转折点 **带宽频率**： $\omega_{b}=\dfrac{1}{T}$，与单位阶跃响应速度成正比 #### 5. 一阶微分环节 $$\begin{align} G(s)=\tau s+1 \quad {\color{red}\Leftrightarrow} \quad G(j\omega)=1+j\omega \tau \end{align}$$ $$\begin{align} |G(j\omega )|&=\sqrt{ 1+\omega^{2}\tau^{2} } \\ L(\omega )&=20\lg|G(j\omega )| \\ &=10\lg(1+\omega^{2}\tau^{2}) \\ &\approx 20\lg(\omega )-20lg(\dfrac{1}{\tau})\quad (\omega \gg \dfrac{1}{\tau}高频特性) \\ \phi(\omega )&=\arctan(\omega \tau)\quad (0^{\circ},90^{\circ}) \end{align}$$ **转折频率/交接频率** $\omega=\dfrac{1}{\tau}$ - 对数幅频特性：曲线斜率为 $20dB/dec$ 渐近线 - 对数相频特性：对应 $45^{\circ}$ 转折点 #### 6. 二阶振荡环节 开环传递函数：$G(s)=\dfrac{\omega_{n}^{2}}{s(s+2\zeta \omega_{n})}$ 自然振荡频率：$\omega_{n}$ [[欠阻尼二阶系统动态分析\|阻尼振荡频率]]：$\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{ 1-\zeta^{2} }$ $G(s)=\dfrac{1}{T^{2}s^{2}+2T \zeta s+1}= \dfrac{1}{(\dfrac{s}{\omega_{n}})^{2}+2\zeta(\dfrac{s}{\omega_{n}})+1}$ $G(j\omega)=\dfrac{1}{1- \dfrac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}+\dfrac{2\zeta \omega}{\omega_{n}}j}$ $$\begin{align} |G(j\omega )|&= \dfrac{1}{\sqrt{ \left(1- \dfrac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}\right)^{2} +4\zeta^{2} \dfrac{\omega^{2}}{\omega _{n}^{2}}}} \\ L(\omega )&=-20 \lg \sqrt{ \left(1- \dfrac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}\right)^{2} +4\zeta^{2} \dfrac{\omega^{2}}{\omega _{n}^{2}}} \\ & \approx \quad 0 \quad \quad \quad \quad (\omega \ll \omega _{n} 低频渐近)\\ & \approx -40\lg \dfrac{\omega}{\omega _{n}} \quad (\omega \gg \omega _{n}高频渐近) \end{align}$$ $$\phi(\omega )= \begin{cases} -\arctan \dfrac{\dfrac{2\zeta \omega}{\omega_{n}}}{1- \dfrac{\omega^{2}}{\omega _{n^{2}}}} \quad \omega \leq \omega _{n}\\ -180^{\circ}+\arctan\dfrac{\dfrac{2\zeta \omega}{\omega_{n}}}{ \dfrac{\omega^{2}}{\omega _{n^{2}}}-1}\quad \omega >\omega _{n} \\ \end{cases} (0^{\circ},-180^{\circ})

转折频率/交接频率： $\omega ={\omega }_n$

• 对数幅频特性：
  • 低频特性：斜率为 $0dB/dec$ 渐近线
  • 高频特性：斜率为 $-40dB/dec$ 渐近线
• 对数相频特性：对应 $-90^{\circ }$ 转折点

谐振频率： ${\omega }_r={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2}0<\zeta <\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$ 谐振峰值： 最大幅值 $\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}$ 阻尼比越小，峰值越大

$\zeta =0$ 幅频特性曲线不连续，会产生分支

带宽频率：${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{(1-2{\zeta }^2)+\sqrt{2-4{\zeta }^2+4{\zeta }^4}}$ 剪切/截止频率：${\omega }_c={\omega }_n\sqrt{\sqrt{1+4{\zeta }^2}-2{\zeta }^2}$

7. 二阶微分环节

$G(s)={\tau }^2{s}^2+2\xi \tau s+1$ $G(j\omega )=(1-{\tau }^2{\omega }^2)+2\zeta \tau \omega j$

|G(j\omega )|&=\sqrt{ (1-\tau^{2}\omega^{2})^{2}+4\zeta^{2} \tau^{2} \omega^{2}} \\ L(\omega )&=20\lg \sqrt{ (1-\tau^{2}\omega^{2})^{2}+4\zeta^{2} \tau^{2} \omega^{2}} \\ &\approx 40\lg \omega \tau \quad (\omega \gg \dfrac{1}{\tau}高频渐近) \end{align}$$ $$\phi(\omega )= \begin{cases} \arctan \dfrac{\dfrac{2\zeta \omega}{\omega_{n}}}{1- \dfrac{\omega^{2}}{\omega _{n^{2}}}} \quad \omega \leq \omega _{n}\\ 180^{\circ}-\arctan\dfrac{\dfrac{2\zeta \omega}{\omega_{n}}}{ \dfrac{\omega^{2}}{\omega _{n^{2}}}-1}\quad \omega >\omega _{n} \\ \end{cases} (0^{\circ},180^{\circ})

转折频率/交接频率 $\omega ={\omega }_n=\frac{1}{\tau }$

• 对数幅频特性：
  • 低频特性：斜率为 $0dB/dec$ 渐近线
  • 高频特性：斜率为 $40dB/dec$ 渐近线
• 对数幅频特性：$90^{\circ }$

9. 延迟环节

输出量经恒定延时后，不失真地重复输入量变化的环节 $U_o(t)=U_i(t-\tau )$ $G(s)=e^{-\tau s}\approx \frac{1}{1+\tau s}$ $G(j\omega )=e^{-j\omega \tau }$

|G(j\omega )|&=1 \quad L(\omega )=0 \quad \phi(\omega )=-\omega \tau \end{align}$$ ### 对称关系 **互为倒数的传递函数**：Bode 图关于实轴对称 纯积分环节 --- 纯微分环节 一阶惯性环节 --- 一阶微分环节 二阶振荡环节 --- 二阶微分环节 **[[非最小相位系统\|非最小相位系统]]和最小相位系统**： - **Nyquist 图**：**关于实轴对称** - **Bode 图**： 对数**幅频**特性曲线相同，对数**相频**特性曲线关于 0°线对称