反常积分

Improper Integral

说明

前置知识：极限 连续 定积分的两种推广

1. 将积分区间推广到无穷区间
2. 将被积函数推广为无界函数

一、无穷限的反常积分

变上限定积分的极限

\int _{a}^{+\infty} f(x)\, dx =\lim\limits_{ t \to +\infty } \int _{a}^{t} f(x)\, dx \\ \int _{-\infty}^{b} f(x)\, dx =\lim\limits_{ t \to -\infty } \int _{t}^{b} f(x)\, dx \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \int _{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int _{-\infty}^{c} f(x)\, dx+\int _{c}^{+\infty} f(x)\, dx \end{align}$$ - 如果极限存在，称反常积分收敛，此极限值为反常积分的值 - 如果极限不存在，称反常积分发散 如果极限存在，反常积分进一步可表示。转化为原函数的趋于无穷的值是否存在： $$\begin{align} \int _{a}^{+\infty} f(x)\, dx =\left[F(x)\right]_{a}^{+\infty}\\ \int _{-\infty}^{b} f(x)\, dx =\left[F(x)\right]_{-\infty}^{b} \\ \int _{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx =\left[F(x)\right]_{-\infty}^{+\infty} \end{align}$$ ### 二、无界函数的反常积分 **瑕点**：函数在瑕点的任一[[邻域\|邻域]]内都无界，无界间断点