Complex-term Series
一、复数列的极限
为一复数列 ， 为一确定的复数 对于任意给定的 ，都能找到一个正数 ，使得 在 时成立 则 称为复数列当 时的极限
复数列 收敛于 的充要条件：（复数列的敛散性转化为两个实数列的敛散性）
\lim\limits_{ n \to \infty } a_{n}=a \quad \lim\limits_{ n \to \infty } b_{n}=b \end{align}$$ ### 二、复数项无穷级数 $\left\{\alpha_{n} \right\}=\left\{a_{n}+ib_{n} \right\}$ 为一复数列，复数项无穷级数： $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}+\cdots$$ **部分和**（前 n 项和）：$S_{n}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ - 部分和数列收敛，则级数==收敛== - 部分和数列不收敛，则级数==发散== $\sum\limits_{n=0}^{\infty} z^{n}$ 的前 $n$ 项和 $\lim\limits_{ n \to \infty }s_{n}= \dfrac{1-z^{n}}{1-z}$ - 当 $\left\lvert z \right\rvert<1$ 时，$\lim\limits_{ n \to \infty } s_{n}=\dfrac{1}{1-z}$ 级数收敛 - 当 $\left\lvert z \right\rvert>1$ 时，级数发散 ### 三、复数项级数收敛的条件 $$\begin{align} \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}+ib_{n}) \end{align}$$ - 复数项级数收敛的==充要条件==：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$ 都收敛，转化为[[常数项级数审敛法\|常数项级数审敛法]]的敛散性判断 - 复数项级数收敛的==必要条件==： $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \alpha_{n}=0 \end{align}$$ $$\begin{align} \lim\limits_{ n \to \infty } \alpha_{n} \neq 0 \to \sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}发散 \end{align}$$ >[!tip] 判断级数是否收敛时 > > 可以优先利用==必要条件==判断，再利用==充要条件==确定 **绝对收敛和条件收敛** 1. 如果 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n}|$ 收敛，则称级数==绝对收敛==，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 也收敛，且 $|\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}|\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n}|$，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}绝对收敛 \Leftrightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}与\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}绝对收敛$ 2. 如果 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n}|$ 不收敛，而 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$ 收敛，则称为==条件收敛== 与实数意义下的级数敛散性非常相近 >[!important] 注意！ > > 要区分==数列==的收敛与==级数==的收敛判断，首先要搞清楚**数列与级数的关系** > 1. 数列是数的序列：收敛只要实部和虚部分别有极限即可（实部与虚部都有极限，则复数列收敛，有极限） > 2. 级数是无穷数列的和：要注意**充要条件**和**必要条件**的应用，转化为**正向级数敛散性**的判断（实部级数与虚部级数都收敛，则复级数收敛）