Basic Structure of Linear Feedback Systems
Description
受控对象和反馈控制器两部分组成闭环系统，经典控制理论主要为输出反馈，现代控制理论为状态反馈。状态空间表达式：
\dot{\mathbf{x}} =A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=C\mathbf{x}+D\mathbf{u} \end{align}$$ 为简单考虑，接下来的讨论将 $D=0$ ### 一、反馈的基本结构 #### 1. 状态反馈 将每一个状态变量乘以相应的反馈系数，反馈到输入端和参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。（现代控制理论常使用） $$\begin{align} \mathbf{u}={\color{red} K \mathbf{x}} +\mathbf{v} \quad \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+ B(\mathbf{v}+K\mathbf{x})=(A+{\color{red}BK})\mathbf{x}+B\mathbf{v} \end{align}$$ #### 2. 输出反馈 采用输出矢量构成线性反馈律（经典控制理论常使用） $$\begin{align} \mathbf{u}= {\color{red}H\mathbf{y}}+\mathbf{v}\quad \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B(\mathbf{v}+H\mathbf{y}) =(A+{\color{red}BHC})\mathbf{x}+B\mathbf{v} \end{align}$$ #### 3. 从输出到状态矢量导数的反馈 （状态观测器中常使用） $$\begin{align} \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}+{\color{red}G\mathbf{y}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}+GC\mathbf{x}\quad \dot{\mathbf{x}}=(A+{\color{red}GC})\mathbf{x}+B\mathbf{u} \end{align}$$ #### 4. 动态补偿器 引入动态子系统来改善系统性能。 ### 二、闭环系统的能控性和能观性 1. **状态反馈**不改变受控系统的**能控性**，但是不保证是否影响能观性。 - 从能控型矩阵来看：能控型矩阵的秩不会改变 - 从引入状态反馈的传递函数来看，传递函数分子多项式不变，而分母多项式改变，可能发生零极点对消，破坏能观性。 2. **输出反馈**不会改变受控系统的能控性和能观性