常规根轨迹
Note
开环传函的其他参数变化都可采用，下面以**根轨迹增益 **变化为讨论前提
K^{*} \dfrac{\prod\limits_{j=1}^{m}(s-z_{j})}{\prod\limits_{i=1}^{n}(s-p_{i})}=-1 \end{align}$$ **闭环特征方程**：$1+G(s)H(s)=0$ (就是 1+开环传递函数！) **根轨迹方程**：$G(s)H(s)=-1$ ### 1. 起点和终点 根轨迹**起于开环极点**，**终于开环零点**，如果零点数小于极点数，则必有无穷远点为终点 ### 2. 分支数、对称性、连续性 分支数=$Max\left\{m,n \right\}$ - m：开环有限零点数 - n ：开环有限极点数 根轨迹均**连续**并且**对称**于实轴 ### 3. 渐近线 $n>m$ 时，有 $n-m$ 条根轨迹分支沿着与实轴夹角 $\varphi_{a}$、交点为 $\sigma_{a}$ 的一组渐近线趋向无穷远处： $$\begin{align} \varphi_{a}= \dfrac{(2k+1)\pi}{n-m} \quad \quad \sigma_{a}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}p_{i}-\sum\limits_{j=1}^{m}z_{j} }{n-m} \end{align}$$ - 与实轴的交点： （极点之和-零点之和）/根轨迹分支数 - 与实轴的夹角：根轨迹分支数平分 360° ### 4. 在实轴上的分布 **实轴**上某一区域，若其**右边**开环实数零、极点个数**之和**为奇数，则该区域必是根轨迹 { #2fb7cb} >[!important] 注意 > >只是判断**在实轴上**的分布 >如果发现右边零极点个数之和不为奇数的实轴之上有根轨迹，不要惊讶 ### 4. 分离点和分离角 **分离点**：两条或两条以上根轨迹分支在s 平面上相遇又立即分开的点： $$\begin{align} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{d-p_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{m} \dfrac{1}{d-z_{j}} \end{align}$$ 如果无有限开环零点: $$\begin{align} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{d-p_{i}}=0 \end{align}$$ 意味着有**重根**： $$\begin{align} & G_{0}(s)= \dfrac{N(s)}{D(s)}=-1 \\ & N'(s)D(s)-N(s)D'(s)=0 \end{align}$$ **分离角**：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角（$l$ 为进入分离点的分支数） $$\begin{align} \theta_{d} = \dfrac{1}{l} (2k+1)\pi \end{align}$$ 根轨迹在实轴上汇合分离，满足“上下对称原则”及 “周角等分原则”（分离角：分支数平分 360°） ### 6. 起始角和终止角 >一般针对在实轴之上的[[零极点\|零极点]]（有虚部的）为了画得更精细 **起始角**：离开开环复数极点的切线**与正实轴的夹角** $$\begin{align} \theta_{p_{i}}=(2k+1)\pi+ \sum\limits_{j=1}^{m} \varphi_{z_{j}p_{i}}-\sum\limits_{j=1,j \neq i}^{n} \theta_{p_{j}p_{i}} \end{align}$$ **终止角**：进入开环复数零点的切线**与正实轴的夹角** $$\begin{align} \varphi_{z_{i}}=(2k+1)\pi-(\sum\limits_{j=1,j\neq i}^{m} \varphi_{z_{j}z_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{n} \theta_{p_{j}z_{i}}) \end{align}$$ 本质是根据**相角条件**计算（开环复数零极点也在根轨迹上，取极限，代点计算） $$\begin{align} & \sum\limits_{j=1}^{m}\angle(s-z_{j})-\sum\limits_{i=1}^{n}\angle(s-p_{i})=(2k+1)\pi \end{align}$$ ### 7. 与虚轴的交点 方法一：利用Routh表，出现全零行，结合辅助方程 方法二：**闭环特征方程，代入纯虚数** 设根为 $j\omega$，利用[[复数\|复数相等]]，求解 $$\begin{align} 1+G(j\omega )H(j\omega )=0 \end{align}$$ ### 8. 极点之和 闭环极点之和等于开环极点之和，且为常数 **根轨迹重心**：当根轨迹增益 $Ｋ^{*}$ 变化，某些闭环极点在 $s$ 平面上向左移动时，则必有另一些极点向右移动 ### 特殊的轨迹 如果为圆，需要简单的证明：一般是求**闭环特征方程的根**，取出**实部和虚部**，再证明根的实部和虚部满足圆的方程（**注意参数的范围**） 例子：证明根轨迹是圆的一部分，特征方程： $$\begin{align} D(s)=(1+K^{*})s^{2}+(2+3K^{*})s+3=0 \end{align}$$ 设根为 $s=\sigma\pm j\omega$ $$\begin{cases} s_{1}+s_{2}=2\sigma=- \dfrac{2+3K^{*}}{1+K^{*}} \\ \\ s_{1}s_{2}=\sigma^{2}+\omega^{2}=\dfrac{3}{1+K^{*}} \end{cases}$$ 解得： $$\begin{align} K^{*}= -\dfrac{2+2\sigma}{2\sigma+3}\quad \quad (\sigma-3)^{2}+\omega^{2}=18 \end{align}$$