偏导数

Partial Derivative

一、基本定义

f_{x}(x_{0},y_{0}) & =\dfrac{\partial f}{\partial x}= \lim\limits_{ \Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x} \\ f_{y}(x_{0},y_{0}) & =\dfrac{\partial f}{\partial y}= \lim\limits_{ \Delta y \to 0} \dfrac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y} \end{align}$$ 实际上求偏导数不需要新的方法，实际上只有一个变量在变动，可以将其他变量固定下来，以一元函数的[[导数\|导数]]来求解 注意偏导数的记号是一个整体的记号，不能像[[导数\|导数]]那样理解为分子和分母之商。 ### 二、偏导数的几何意义 对于 $f_{x}(x_{0},y_{0})$ 表示：曲面 $z=f(x,y)$ 被平面 $y=y_{0}$ 所截得的曲线在点 $(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。 **即使在某个点出各阶偏导数都存在，也不能保证函数在该点处连续**，因为偏导数存在只保证了：从坐标轴趋于某点时，极限值等于函数值，而没有保证按任何方式趋于该点的极限值等于函数值。 ### 三、高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 $$\begin{align} \dfrac{\partial }{\partial x}(\dfrac{\partial z}{\partial x} ) & =\dfrac{\partial^{2}{z} }{\partial{x}^{2} }=f_{xx} (x,y) \\ \dfrac{\partial }{\partial y}(\dfrac{\partial z}{\partial y} ) & =\dfrac{\partial^{2}{z} }{\partial{y}^{2} }=f_{yy} (x,y) \\ \dfrac{\partial }{\partial x}(\dfrac{\partial z}{\partial y} ) & =\dfrac{\partial^{2}{z} }{\partial{x} \partial{y}}=f_{xy} (x,y) \\ \dfrac{\partial }{\partial y}(\dfrac{\partial z}{\partial x} ) & =\dfrac{\partial^{2}{z} }{\partial{y} \partial{x}}=f_{yx} (x,y) \end{align}$$