解析

Holomorphic

若 $f(z)$ 在 $z_0$ 及 $z_0$ 的邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析 如果函数在某点处不解析，则为奇点

函数解析是在一个区域上的性质

• 在区域内解析等价于在区域内可导
• 在一点处可导不一定在该点处解析

一、解析函数

复变函数 研究的主要对象

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的每一点内处解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，$f(z)$ 是 $D$ 内的解析函数（全纯函数、正则函数）

研究函数解析性

利用导数的定义，判断是否可导，再利用解析的定义

• 注意奇点要重点讨论说明
• 一般 $\overline{z}|z|$ 的不解析

例子：$k$ 的任意性，极限不存在，函数处处不可导、不解析

令 $\Delta y=k\Delta x$： $\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}=\frac{\Delta x-i\Delta y}{\Delta x+i\Delta y}=\frac{1-i\frac{\Delta y}{\Delta x}}{1+i\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1-ik}{1+ik}$

二、解析的充要条件

由复变函数的定义知：一个复变函数相当于一对二元实变函数

柯西黎曼条件

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 函数解析的充要条件：Cauchy-Riemann 柯西-黎曼方程/ C-R 方程

\dfrac{\partial u}{\partial x}=\;\;\dfrac{\partial v}{\partial y} \quad \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{align}$$ #### 1. 在某点处可导 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z=x+iy$ 处**可导**的**充分必要条件**是：$u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，并且满足 C-R 方程 则 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z=x+iy$ 点处的导数公式： $$\begin{align} f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}-i\dfrac{\partial u}{\partial y} \end{align}$$ - 只是在某一点处的导数公式，没有要求函数在此点解析 - [[调和函数\|调和函数]]中使用此来不定积分，求解析函数 $f(z)$ #### 2.在区域内解析 $$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$$ 在区域 $D$ (定义域)内**解析**的**充分必要条件**是： $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 在 $D$ 内处处可微，并且满足 C-R 方程 >[!important] 注意 > >- 首先要判断实部和虚部的函数 $u(x,y),v(x,y)$ 是否[[复变函数\|可微]]（可导） >- 再判断是否满足 C-R 方程 ### 等价条件 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，以下条件彼此等价： $$\begin{align} & v=u^{2} \\ & f'(z)=0 \\ & \overline{f(z)}解析\\ & Re=\left[f(z)\right]=C\\ & Im\left[f(z)\right]=C\\ & arg f(z)=C\\ & f(z)=C \\ & |f(z)|=C \\ \end{align}$$