寻找线性变换，得到单输入单输出系统的能控能控标准型。
\dot{\mathbf{z}}=T^{-1}AT\mathbf{z}+T^{-1}B\mathbf{u} \\ \mathbf{y}=CT\mathbf{z}+D\mathbf{u} \end{gathered}$$ ### 能控性与能观性的对偶关系 互为对偶系统的两个系统：系统能控性分析 $\Leftrightarrow$ 能观性分析 1. 系统的能控性等价于对偶系统的能观测性 2. 对偶系统的[[传递函数矩阵\|传递函数矩阵]]相互转置 3. 对偶系统的特征方程相同。 #### 1. 定常系统 $$\begin{align} \Sigma_{1} (A,B,C)\quad \Sigma_{2}(A^{T},C^{T},B^{T}) \end{align}$$ $$\begin{align} Sym 1=\begin{cases} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad Sym 2=\begin{cases} \dot{x}=A^{T}+C^{T}u \\ y=B^{T}x \end{cases} \end{align}$$ #### 2. 时变系统 $$\begin{align} \Sigma_{1} (A,B,C)\quad \Sigma_{2}(-A^{T},C^{T},B^{T}) \end{align}$$ $$\begin{align} Sym 1=\begin{cases} \dot{x}=A(t)x+B(t)u \\ y=C(t)x \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad Sym 2=\begin{cases} \dot{x}=-A^{T}(t)+C^{T}(t)u \\ y=B^{T}(t)x \end{cases} \end{align}$$ ### 一、能控标准型 1. 首先判断系统是否[[线性定常系统的能控性\|能控]]，构造**能控性矩阵** $rank\; M =rank \; {\color{red}\begin{pmatrix} b & Ab & \cdots & A^{n-1}b\end{pmatrix}}=n$ 2. 其次利用系统矩阵计算**特征多项式**： $$\begin{align} \left\lvert \lambda I-A \right\rvert=\lambda^{n}+{\color{#944075} a_{n-1}}\lambda^{n-1}+\cdots +{\color{#944075} a_{1}}\lambda_{1}+ {\color{#944075}a_{0}} \end{align}$$ #### 1.1 能控标准 I 型 找线性变换使得系统矩阵为[[友矩阵\|友矩阵]]，可以直接写出对应的传递函数。 $$\begin{align} T_{c_{1}}={\color{red}\begin{pmatrix} A^{n-1}\mathbf{b} & A^{n-2}\mathbf{b} & \cdots & A\mathbf{b} & \mathbf{b} \end{pmatrix} }\begin{pmatrix} 1 \\ \color{#944075}a_{n-1} & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \color{#944075}a_{2} & \color{#944075}a_{3} & \cdots & 1 \\ \color{#944075}a_{1} & \color{#944075}a_{2} & \cdots & \color{#944075}a_{n-1} & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} \bar{A} & =T_{c_{1}}^{-1}AT_{c_{1}}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -\color{#944075}a_{0} & -\color{#944075}a_{1} & -\color{#944075}a_{2} & \cdots & -\color{#944075}a_{n-1} \end{pmatrix} \\ \bar{\mathbf{b}} & =T_{c_{1}}^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 0 \\0 \\\vdots \\ 1 \end{pmatrix} \quad {\color{ #7496ff }\bar{\mathbf{c}} =\mathbf{c} T_{c_{1}} =\begin{pmatrix} \beta_{0},\beta_{1},\cdots,\beta_{n-1} \end{pmatrix}} \end{align}$$ 可以直接得到系统的传递函数： $$\begin{align} W(s)=\bar{\mathbf{c}}(sI-\bar{A}) ^{-1}\bar{\mathbf{b}} =\dfrac{{\beta}_{{n-1}}{s}^{n-1}+{\beta}_{{n-2}}{s}^{n-2}+\cdots+\beta_{1}s+\beta_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}} \end{align}$$ - 分母的系数多项式直接来自系统矩阵计算的**特征多项式** - 分子的系数多项式来自计算的**输出矩阵** #### 1.2 能控标准 II 型 $$\begin{align} T_{c_{2}}={\color{red}\begin{pmatrix}b & Ab & \cdots & A^{n-1}b\end{pmatrix}}=M \end{align}$$ $$\begin{align} \bar{A} & =T_{c_{2}}^{-1}AT_{c_{2}}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -a_{0} & -a_{1} & -a_{2} & \cdots & -a_{n-1} \end{pmatrix}^{\color{ red }T} \\ \bar{\mathbf{b}} & =T_{c_{2}}^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 1\\0 \\\vdots \\ 0 \end{pmatrix} \quad {\color{ #7496ff }\bar{\mathbf{c}} =\mathbf{c} T_{c_{2}} =\begin{pmatrix} \beta_{0},\beta_{1},\cdots,\beta_{n-1} \end{pmatrix}} \end{align}$$ ### 二、 能观标准型 首先判断系统是否[[线性定常系统的能观性\|能观]]，构造**能观性矩阵** $$\begin{align} rank \;N=rank \begin{pmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{pmatrix}=n \end{align}$$ 或利用能控性和能观性的对偶关系，直接先求得对偶系统 $$\begin{align} Sym 1=\begin{cases} \dot{x}=Ax+Bu \\ \\ y=Cx \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad Sym 2=\begin{cases} \dot{x}=A^{T}+C^{T}u \\ \\ y=B^{T}x \end{cases} \end{align}$$ 先判断对偶系统的能控性，再按照能控标准型的计算方法进行计算 - 能观标准 I 型也是对偶系统的能控标准 II 型 - 能观标准 II 型也是对偶系统的能控标准 I 型 #### 2.2 能观标准 I 型 #### 2.2 能观标准 II 型 $$\begin{align} \tilde{A} & =T_{o_{2}}^{-1}AT_{o_{2}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1}\\ \end{pmatrix} \\ \tilde{\mathbf{b}} & =T_{o_{2}}^{-1}\mathbf{b}=\begin{pmatrix} \beta_{0}\\ \beta_{1}\\\vdots\\\beta_{n-1} \end{pmatrix} \quad \tilde{\mathbf{c}} =\mathbf{c} T_{o_{2}} =\begin{pmatrix} 0 , 0 ,\cdots , 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} W(s)=\bar{\mathbf{c}}(sI-\bar{A}) ^{-1}\bar{\mathbf{b}} =\dfrac{{\beta}_{{m}}{s}^{m}+{\beta}_{{m-1}}{s}^{m-1}+\cdots+\beta_{1}s+\beta_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_{1}s+a_{0}} \end{align}$$ ### 三、实际例题 将下列标准型写为四种标准型 $$\begin{align} \dot{\mathbf{x}}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x}+\begin{pmatrix} 2\\1\\ 1 \end{pmatrix}\mathbf{u} \quad \quad \mathbf{y}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x} \end{align}$$ 计算系统的特征多项式： $$\begin{align} \left\lvert \lambda I-A \right\rvert=\lambda^{n}+{\color{#944075} a_{n-1}}\lambda^{n-1}+\cdots +{\color{#944075} a_{1}}\lambda_{1}+ {\color{#944075}a_{0}}=\lambda^{3}-9\lambda+2 \end{align}$$ #### 能控标准型 判断系统能控性： $$\begin{align} M=\begin{pmatrix} b & Ab & A^{2}b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 16 \\ 1 & 6 & 8 \\ 1 & 2 & 12 \end{pmatrix}\quad rank\; M=3 \end{align}$$ ##### 能控标准 I 型 $$\begin{align} \bar{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 9 & 0 \end{pmatrix}\quad \bar{b}=\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} \bar{C}=C\begin{pmatrix} A^{2}b & Ab & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ a_{2} & 1 \\ a_{1} & a_{2} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 16 & 4 & 2 \\ 8 & 6 & 1 \\ 12 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 & 1 \\ -9 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ ##### 能控标准 II 型 $$\begin{align} \bar{A}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1& 0 \end{pmatrix}\quad \bar{b}=\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} \bar{C}=C\begin{pmatrix} b & Ab & A^{2}b\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 16 \\ 1 & 6 & 8 \\ 1 & 2 & 12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 12 \end{pmatrix} \end{align}$$ #### 能观标准型 判断系统能观性： $$\begin{align} N=\begin{pmatrix} C \\ CA \\CA^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 6 & -2 & 2 \end{pmatrix}\quad rank\; N=3 \end{align}$$ ##### 能观标准 I 型 $$\begin{align} \tilde{A}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & 9 & 0 \end{pmatrix}\quad \tilde{b}=\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 12 \end{pmatrix}\quad \tilde{C}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ ##### 能观标准 II 型 $$\begin{align} \tilde{A}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1& 0 \end{pmatrix}\quad \tilde{b}=\begin{pmatrix} 3 \\2\\ 1 \end{pmatrix}\quad \tilde{C}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ > [!important] 注意 > > 首先判断 **能控性/能观性**，再进行特征多项式计算，得到系统不变量，马上可以直接写出**系统矩阵**（以及**能控标准型的输入矩阵**、**能观标准型的输出矩阵**）。Description
判断能控能观性：线性定常系统的能控性 线性定常系统的能观性 化为标准型：状态向量的线性变换 写为传递函数：状态空间表达式的建立#二、从外部描述建立