线性系统稳定性分析

Stability Analysis of Linear System

系统分析的前提是稳定

一、基础概念

稳定性：系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能 李雅普诺夫稳定性理论：线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定

经典控制理论的稳定性属于Lyapunov稳定性中的渐进稳定

线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部，或闭环传递函数的极点均位于 s 左半平面。（实部决定收敛和发散，虚部决定是否振荡）

在状态空间形式中，齐次线性定常系统写作

$$\dot{x}=Ax,x(t)=e^{At}x(0).$$

因此闭环特征根就是系统矩阵 $A$ 的特征值。若 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$，则对应模态为

$$x(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}.$$

这解释了为什么连续系统看 $\mathrm{Re}\lambda$：实部决定 $e^{\mathrm{Re}\lambda t}$ 的衰减或增长，虚部只决定振荡。

二、线性系统稳定判据

闭环特征方程：$D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$

1. 赫尔维茨判据

必要条件：特征方程的各项系数为正数 充分必要条件：由特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式全部为正

$n=1:$ 特征方程的各项系数为正 $n=2:$ 特征方程的各项系数为正 $n=3:$ 特征方程的各项系数为正，且 $a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$ $n=4:$ 特征方程的各项系数为正，且 ${\Delta }_2=a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$, 以及 ${\Delta }_2>\frac{a_3{a}_0}{a_1^2}$

2. 劳斯判据

$D(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$ 劳斯表：

$s^n$	$a_n$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	$\cdots$
$s^{n-1}$	$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	$\cdots$
$s^{n-2}$	$L_{31}$	$L_{32}$	$L_{33}$	$\cdots$
$s^{n-3}$	$L_{41}$	$L_{42}$	$L_{43}$	$\cdots$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$s^0$	$\cdots$

L_{31}=-\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-2} \\ a_{n-1} & a_{n-3} \\ \end{vmatrix} \\ L_{32}=-\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-4} \\ a_{n-1} & a_{n-5} \\ \end{vmatrix} \\ L_{33}=-\frac{1}{a_{n-1}} \begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-6} \\ a_{n-1} & a_{n-7} \\ \end{vmatrix} \\ \\ L_{41}=-\frac{1}{L_{31}} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-3} \\ L_{31} & L_{32} \\ \end{vmatrix} \\ L_{42}=-\frac{1}{L_{31}} \begin{vmatrix} a_{n-1} & a_{n-5} \\ L_{31} & L_{33} \\ \end{vmatrix} \end{align}$$ **系统稳定的充分必要条件**：第一列各值为正值 - 第一列中数据**符号改变的次数**等于系统特征方程**正实部根的数目** - 如果第一列中出现负值，系统不稳定 >[!important] 注意 > >计算劳斯表时，不要漏掉负号 ##### 特殊情况 1. 某一行**第一项为 0**，而**其余项不全为 0** 用一个很小的正数 $\varepsilon$ 替代 0 只是判断极限是大于零还是小于零即可, 所以从正半轴趋于零 2. **出现全零行** **说明有大小相等、方向相反的根** 零行的上一行系数构造一个辅助多项式， 并以该多项式导数的系数代替全零行 例如: $s^{4}\quad 2\quad 3\quad 4$ $s^{3}\quad 0\quad 0\quad 0$ $F(s)=2s^{4}+3s^{2}+4$ 以该多项式求导的系数代替全零行 $F'(s)=8s^{3}+6s$ $s^{3}\quad 8\quad 6\quad 0$ ##### 变例 如果问在 $s=x_{0}$ 的右侧，直接 **变量代换** $s=x_{0}+z\quad z=s-x_{0}$ 将 $f(s)\to g(z)$ 然后再沿用之前的计算方法 #### 3. 李纳德 -戚帕特判据 ### 三、与微分方程组的联系 二阶常系数方程

u”+Bu’+Cu=0

可用状态向量 $(u,u')^T$ 化为一阶系统：

\begin{pmatrix}u\u’\end{pmatrix}’

\begin{pmatrix}0&1\-C&-B\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\u’\end{pmatrix}.

$$这个矩阵的特征方程是$$

\lambda

与直接令 $u=e^{\lambda t}$ 得到的特征方程一致。所以控制中的闭环极点、微分方程的特征根、状态矩阵的特征值描述的是同一组模态。 离散系统或数值差分系统不能沿用左半平面判据。若

U_{n+1}=AU_n,

长期行为由 $A^n$ 决定，应检查 $|\lambda|$。例如前向差分近似 $y''=-y$ 时会出现特征值 $1\pm i\Delta t$，其模长大于 $1$，所以轨道向外螺旋；连续原系统的特征值 $i,-i$ 只表示中性振荡。