总体和样本

对于特定的研究目的而言

总体 Population：研究对象的全体构成的一个集合 总体与随机变量密切联系，总体就是随机变量的概率分布

如果研究对象是某个指标 $X$，且 $X$ 有分布函数 $F(x)$，则可以将 $X$ 的所有可能取值的全体看作总体，进而称该总体为具有分布函数 $F(x)$ 的总体。

特殊的总体：正态总体、指数总体…，例如：正态总体就是数据分布符合正态分布的全体

个体：总体中的每个基本单元

抽样：用样本对总体进行可靠的统计推断（抽样的方法有多种）

随机抽样： 按机会均等原则从总体中选取某些个体进行观测或测试的过程

样本： Sample 从总体中随机抽取 $n$ 个个体 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 构成样本 （子样）

• $n$ 为样本容量
• 观测到的 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的一组确定的值 $(x_1,x_2,..,x_n)$ 为样本值 $(x_1,x_2,..,x_n)$ 是一次随机试验的结果，也即一个样本点
• $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的一切可能的结果的全体构成一个样本空间

简单随机抽样：得到样本为简单样本，简单随机抽样为有放回抽样，需要有独立同分布的性质

1. 代表性: $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 与 $X$ 的总体具有相同的分布 (指每一个个体被抽取的机会相等)

E(X_{i})=E(X)\quad D(X_{i})=D(X) \end{align}$$ 2. **独立性**: $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$ 是[[随机变量的独立性\|相互独立]]的随机变量 (观测结果在过程中互不影响) $$\begin{align} E\left( \sum\limits_{i=1}^{n} X_{i} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_{i})=\sum\limits_{i=1}^{n}E(X)=nE(X) \end{align}$$